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序1

第一章 基础数学6

1.1 空间Rn及其拓扑6

1.2 映射10

1.3 实分析16

1.4 群理论18

1.5 线性代数21

1.6 方阵代数24

1.7 参考文献29

第二章 微分流形和张量33

2.1 流形的定义33

2.2 作为流形的球面37

2.3 流形的另一些例子39

2.4 整体考虑40

2.5 曲线41

2.6 M上的函数42

2.7 矢量和矢量场43

2.8 基矢和基矢场46

2.9 纤维丛47

2.10 纤维丛的例子50

2.11 对纤维丛的深入考察51

2.12 矢量场和积分曲线56

2.13 算符d/dλ的指数57

2.14 李括号和非坐标基58

2.15 什么情况下一个基为坐标基62

2.16 1-形式65

2.17 1-形式的例子66

2.18 狄拉克8函数67

2.19 梯度和1-形式的图象表示69

2.20 基1-形式和1-形式分量72

2.21 指标符号74

2.22 张量和张量场75

2.23 张量的例子76

2.24 张量的分量和外积77

2.25 缩併78

2.26 基的变换80

2.27 关于分量的张量运算84

2.28 函数和标量85

2.29 在矢量空间上的度规张量85

2.30 流形上的度规张量场91

2.31 狭义相对论93

2.32 参考文献95

第三章 李导数和李群97

3.1 引论97

3.3 矢量场的李拖曳98

3.2 函数的李拖曳98

3.4 李导数100

3.5 1-形式的李导数104

3.6 子流形105

3.7 Frobenius定理(矢量场)表述107

3.8 Frobenius定理的证明109

3.9 一个例子：S2的生成元113

3.10 不变性115

3.11 Killing矢量场117

3.12 Killing矢量和粒子动力学守恒量118

3.13 轴对称119

3.14 抽象李群122

3.15 李群的例子125

3.16 李代数和它的群134

3.17 实现和表示139

3.18 球对称、球谐及转动群的表示142

3.19 参考文献148

4.1 体积的定义——微分形式的几何角色150

第四章 微分形式150

A.形式代数和积分计算150

4.2 反对称张量的符号和意义153

4.3 微分形式155

4.4 微分形式的使用157

4.5 形式的限制159

4.6 形式的场160

4.7 手征和可定向胜160

4.8 可定向流形上的体积和积分161

4.9 N-矢量、对偶和符号？165

4.10 张量密度171

4.11 广义克罗内克尔δ符号172

4.12 行列式和？175

4.13 度规体元176

B. 形式的微分计算及其应用178

4.14 外微分179

4.15 导数的符号180

4.16 外微分常见例子182

4.17 偏微分方程可积条件183

4.18 恰当形式184

4.19 闭形式局部恰当性证明186

4.20 形式的李导数190

4.21 李导数和外微分的对易192

4.22 斯托克斯定理192

4.23 高斯定理和散度定理196

4.24 上同调(cohomology)理论一瞥200

4.25 微分形式和微分方程203

4.26 Frobenius定理(微分形式变型)205

4.27 Frobenius定理两种形式等价的证明210

4.28 守恒定律211

4.29 矢量球谐函数213

4.30 参考文献215

第五章 物理学中的应用217

A.热力学217

5.1 简单系统217

5.2 Maxwell和另一些数学恒等式218

5.3 组合热力学系统，Carathecdory定理220

B. 哈密顿力学223

5.4 哈密顿矢量场223

5.5 正则变换224

5.6 矢量和由？提供的1-形式间的映射225

5.7 泊松符号226

5.8 多粒子系统：辛形式(Symplectic forms)227

5.9 线性力学系统：辛内积和守恒量229

5.10 哈密顿方程的纤维丛结构232

C. 电磁学234

5.11 应用微分形式重写Maxwell方程组234

5.12 电荷和拓扑239

5.13 矢势240

5.14 平面波一个简单的例子241

D.理想流体力学243

5.15 李导数的作用243

5.16 共动时间导数243

5.17 运动方程245

5.18 涡量守恒246

E.宇宙学249

5.19 宇宙学原理249

5.20 最大对称的李导数253

5.21 球对称、3-空间的度规256

5.22 六个Killing矢量的构成259

5.23 开宇宙、闭宇宙和平直宇宙262

5.24 参考文献265

6.2 曲面上的平行268

第六章 黎曼流形的联络和规范理论268

6.1 引论268

6.3 协变导数270

6.4 分量：基的协变导数272

6.5 挠率275

6.6 短程线277

6.7 正则坐标279

6.8 黎曼张量280

6.9 黎曼张量的几何解释283

6.10 平直空间285

6.11 联络和体积-测量或度规的一致性287

6.12 度规联络288

6.13 仿射联络和等价原理291

6.14 联络和规范理论：电磁学的例子292

6.15 参考文献296

附录：选题的解和提示299

符号327

索引329