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第一章 复数与复变函数1

1复数1

一、复数域1

二、复平面2

三、复数的乘幂与方根6

四、共轭复数的性质7

五、复数在几何中的应用8

2复平面上的点集10

一、基本概念10

二、区域与曲线11

3复变函数14

一、复变函数的概念14

二、复变函数的极限与连续性16

4复球面与无穷远点19

一、复球面19

二、扩充复平面上的几个概念20

习题一21

第二章 解析函数23

1解析函数的概念23

一、导数与微分23

二、解析函数24

三、柯西-黎曼方程25

2初等解析函数27

一、幂函数28

二、指数函数29

三、三角函数30

3基本初等多值函数31

一、根式函数32

二、对数函数34

三、一般幂函数与一般指数函数35

4一般初等多值函数36

一、基本理论36

二、辐角函数37

三、ArgR （z）的可单值分支问题39

四、LnR （z）的可单值分支问题42

五、w=n？R（z）的可单值分支问题43

六、反三角函数与反双曲函数44

习题二45

第三章 复变函数的积分48

1复变函数积分的概念及其基本性质48

一、复变函数积分的定义及计算48

二、复变函数积分的基本性质51

2柯西积分定理53

一、柯西积分定理53

二、不定积分56

3柯西积分公式及其推论58

一、柯西积分公式58

二、柯西导数公式61

三、柯西不等式62

四、摩勒拉定理63

4解析函数与调和函数的关系64

一、解析函数与调和函数的关系64

二、解析函数的求法65

习题三67

第四章 解析函数的级数理论69

1一般理论69

一、复数项级数69

二、复变函数项级数72

三、解析函数项级数73

四、幂级数及其和函数75

2泰勒级数77

一、泰勒定理77

二、一些初等函数的泰勒展式79

3解析函数的零点及唯一性定理81

一、解析函数的零点81

二、唯一性定理83

三、最大模原理84

4洛朗级数85

一、洛朗级数85

二、洛朗定理86

三、解析函数的孤立奇点89

四、解析函数在无穷远点的性质93

五、整函数与亚纯函数95

习题四96

第五章 留数理论及其应用99

1留数及留数定理99

一、留数的定义及其求法99

二、留数定理102

2用留数定理计算实积分103

一、计算∫2π0R（cosθ，sinθ）dθ型积分103

二、计算∫+∞-∞P（x）/Q（x）dx型积分105

三、计算∫∫+∞-∞P（x）/Q（x）eimx dx型积分107

四、计算积分路径上有奇点的积分109

3辐角原理与儒歇定理110

一、对数留数110

二、辐角原理112

三、儒歇定理112

习题五114

第六章 共形映射116

1共形映射116

2分式线性变换122

一、四种基本变换122

二、分式线性变换及其分解124

三、分式线性变换的性质126

四、分式线性变换的应用128

3某些初等函数构成的共形映射130

一、幂函数与根式函数131

二、指数函数与对数函数134

三、两角形区域的共形映射136

4共形映射的一般理论138

一、黎曼存在定理139

二、黎曼边界对应定理140

习题六142

第七章 解析延拓简介144

1解析延拓的概念和方法144

一、基本概念144

二、幂级数延拓145

三、透弧延拓146

2完全解析函数及单值性定理147

一、完全解析函数147

二、单值性定理147

参考文献149

名词索引150

习题答案与提示154