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第1章 线性空间与线性变换1

1.1 线性空间1

1.1.1 线性空间的概念及实例1

1.1.2 基、维数与坐标3

1.1.3 基变换与坐标变换5

1.2 线性子空间7

1.2.1 线性子空间的概念及实例7

1.2.2 子空间的交与和9

1.2.3 子空间的直和与补子空间11

1.3 线性变换12

1.3.1 线性变换的概念及实例12

1.3.2 线性变换的运算14

1.3.3 线性变换的矩阵表示15

1.3.4 线性映射的矩阵表示18

1.4 与线性变换有关的子空间19

1.4.1 线性变换的值域与核19

1.4.2 线性变换的不变子空间20

1.5 欧氏空间与酉空间22

1.5.1 欧氏空间的定义与性质22

1.5.2 度量矩阵及可度量的量23

1.5.3 标准正交基26

1.5.4 酉空间介绍28

习题130

第2章 矩阵的相似标准形33

2.1 相似矩阵33

2.1.1 相似矩阵及其性质33

2.1.2 矩阵与对角矩阵相似的条件33

2.1.3 相似不变量35

2.2 λ－矩阵及其标准形36

2.2.1 λ－矩阵36

2.2.2 λ－矩阵的标准形38

2.3 不变因子与初等因子39

2.3.1 不变因子39

2.3.2 初等因子41

2.4 Jordan标准形44

2.4.1 矩阵的Jordan标准形44

2.4.2 Jordan标准形的求法45

习题250

第3章 矩阵分解52

3.1 矩阵的三角分解52

3.1.1 Gauss消去法的矩阵表述52

3.1.2 矩阵的三角分解55

3.1.3 降秩矩阵与分块矩阵的三角分解60

3.2 矩阵的QR分解62

3.2.1 矩阵的QR分解62

3.2.2 用初等旋转矩阵求矩阵的QR分解65

3.2.3 用初等反射矩阵求矩阵的QR分解68

3.3 矩阵的满秩分解70

3.3.1 矩阵满秩分解的存在性70

3.3.2 用矩阵的行最简形矩阵求满秩分解71

3.3.3 关于行满秩或列满秩矩阵的性质75

3.4 矩阵的奇异值分解77

3.4.1 Schur引理及正规矩阵的分解77

3.4.2 矩阵的奇异值分解79

3.5 矩阵的谱分解83

3.5.1 可对角化方阵的谱分解83

3.5.2 正规矩阵的谱分解87

习题389

第4章 矩阵函数与范数理论91

4.1 矩阵多项式与最小多项式91

4.1.1 矩阵多项式的概念与运算91

4.1.2 Cayley-Hamilton定理92

4.1.3 最小多项式的性质与求法94

4.2 矩阵函数101

4.2.1 预备知识101

4.2.2 矩阵函数的概念与性质102

4.2.3 矩阵函数的求法103

4.3 向量的范数116

4.3.1 向量范数的概念与性质116

4.3.2 向量范数的连续性与等价性120

4.4 矩阵的范数122

4.4.1 矩阵范数的概念与性质122

4.4.2 F－范数的性质124

4.4.3 向量范数与方阵范数的关系126

习题4129

第5章 矩阵分析132

5.1 向量序列的极限132

5.1.1 向量序列收敛的概念及条件132

5.1.2 一般向量空间中柯西序列与向量序列的收敛关系134

5.2 矩阵序列的极限135

5.2.1 矩阵序列收敛的概念及条件135

5.2.2 收敛矩阵序列的运算性质136

5.2.3 方阵幂收敛概念及定理137

5.3 函数矩阵140

5.3.1 函数矩阵的定义与运算140

5.3.2 函数矩阵的极限与连续141

5.4 函数矩阵的微分142

5.4.1 函数矩阵的导数142

5.4.2 纯量函数对矩阵变量的导数145

5.4.3 函数矩阵对矩阵变量的导数149

5.5 矩阵的积分154

习题5156

第6章 矩阵级数158

6.1 矩阵级数的概念和性质158

6.2 矩阵幂级数162

6.3 矩阵函数展开成矩阵幂级数171

6.4 矩阵函数的一些应用174

6.4.1 一阶线性常系数齐次微分方程组的解174

6.4.2 一阶线性常系数非齐次微分方程组的解178

习题6181

第7章 广义逆矩阵183

7.1 广义逆矩阵A-183

7.1.1 广义逆矩阵的引入183

7.1.2 广义逆矩阵A-的定义及存在性183

7.1.3 广义逆矩阵A-的性质与计算185

7.1.4 相容线性方程组的解与广义逆矩阵A-189

7.2 广义逆矩阵A-m191

7.2.1 广义逆矩阵A-m的定义及计算191

7.2.2 相容方程组的极小范数解与广义逆矩阵A-m192

7.3 广义逆矩阵A-l195

7.3.1 广义逆矩阵A-l的定义与计算195

7.3.2 不相容方程组的最小二乘解与广义逆矩阵A-l197

7.4 广义逆矩阵A+200

7.4.1 广义逆矩阵A+的定义与性质200

7.4.2 广义逆矩阵A+的一些计算方法201

7.4.3 不相容方程组的极小最小二乘解与广义逆矩阵A+205

习题7206

习题提示209

习题答案222

参考文献237