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第一篇 平面解析几何1

第一章 直线上的几何学1

1 向量的概念1

2 用数量来乘向量4

3 在直线上的向量7

4 直线上的坐标法9

5 两点间的距离10

6 分线段成给与的比11

第二章 平面上坐标法13

1 平面上的向量13

2 在平面上的卡氏坐标及仿射坐标16

3 分线段成给与的比18

4 向量的数性积19

5 两点间的距离22

6 坐标变换22

7 原点变换23

8 坐标向量的变换25

9 一般的坐标变换28

第三章 点的几何轨迹的方程式29

1 方程式的几何意义29

2 圆的方程式30

3 直线32

4 椭圆34

5 椭圆的典式37

6 按照点作椭圆的图形40

7 椭圆可视为圆的投影42

8 变曲线43

9 变曲线的典式45

10 抛物线47

11 按照点作抛物线的圆形49

第四章 平面上关于曲线方程式的一般定理50

1 只含一个流动坐标的方程式50

2 二曲线的交点52

3 坐标变换的不变式53

4 平面上曲线的分类56

5 曲线的阶的几何意义57

6 左端能分解为因式的方程式58

7 曲线束59

8 极坐标系61

第五章 一阶曲线62

1 直线的法线方程式62

2 将一般的直线方程式化为法线式64

3 有角系数的直线方程式66

4 直线方程式的截距式68

5 直线方程式的研究68

6 按照给与的方程式作直线的图形69

7 点至直线的距离71

8 二直线的交角73

9 平行的条件74

10 垂直的条件75

11 按照给与的方向通过给与点的直线方程式76

12 通过两点的直线方程式77

13 三点在一直线上的条件78

14 二直线的交点79

第六章 在投射平面上的直线80

1 齐次坐标80

2 投射平面81

3 广义平面的广义元素83

4 直线方程式的研究85

5 二直线的交点87

6 通过两个给与点的直线方程式88

7 直线束90

8 解析点以及它们的运算法93

9 在平面上的投射坐标95

10 在广义平面上的投射坐标99

1 二阶曲线的一般方程式101

第七章 关于二阶曲线的一般知识101

2 五点确定二阶曲线102

3 二阶曲线与直线的交点·切线103

4 二阶曲线与直线的交点·渐近线105

5 二阶曲线的广义点108

6 平面的虚点110

第八章 二阶曲线的投射性质113

1 直线上四点的复比113

2 一线束的四条直线的复比116

3 调和四点集120

4 关于二阶曲线的点的极共轭性122

5 极形式124

6 极线126

7 切线127

8 外点和内点的极线129

9 一对极共轭的直线130

10 极对应的变态132

11 判别式？的秩降低到单位时极对应的变态135

12 在广义平面上二阶曲线的变态136

第九章 二阶曲线的仿射性质137

1 几何图形的投射仿射及度量的性质137

2 二阶曲线的中心139

3 不定中心的二阶曲线142

4 二阶曲线的直径142

5 共轭直径144

6 k及？二指向有共轭性的条件146

7 渐近线148

8 按照一对给与的渐近线来作曲线150

9 二阶曲线束151

10 一对渐近线的方程式155

第十章 二阶曲线的度量性质157

1 主向157

2 不定主向的曲线158

3 特征方程式159

4 特征方程式的根的不变性161

5 二阶曲线的不变式163

第十一章 二阶曲线的典式165

1 自极三角形165

2 投射坐标的二阶曲线的典式167

3 在仿射坐标系里二阶曲线的典式168

4 在卡氏坐标系里二阶曲线的典式170

5 化二阶曲线方程式为典式172

6 不同型的二阶曲线的不变性的特征174

第十二章 二阶曲线的焦点性质174

1 极共轭的直线束的正交互应174

2 由焦点向曲线所作的虚切线175

3 连系到焦点上去的二阶曲线方程式176

5 二阶曲线焦点的个数177

4 二阶曲线的离心率177

6 有心二阶曲线的焦点178

7 抛物线的焦点179

第二篇 空间解析几何181

第一章 空间的坐标方法181

1 向量的坐标181

2 仿射坐标系及卡氏(直角)坐标系182

3 两向量间的角184

4 两点间的距离185

5 分一个线段成给与的比186

6 三向量的坐向186

7 向量积188

8 分配性的定理189

9 按照顶点的坐标来求三角形的面积191

10 三个向量的数性积192

11 四面体的体积195

1 原点变换196

第二章 坐标变换196

2 坐标向量的变换197

3 直角变换的行列式198

4 爱拉角199

5 仿射坐标变换的不变式200

第三章 关于点的几何轨迹的方程式的一般定理201

1 点的几何轨迹的方程式201

2 球的方程式203

3 两个坐标间的方程式204

4 曲线的方程式205

5 曲面的分类206

6 曲面的变态207

7 曲面束208

8 曲面汇209

第四章 欧氏空间的平面210

1 通过给与的点而垂直于给与的向量的平面的方程式210

2 平面的法线式212

3 把一个平面的方程式导向法线形式213

4 从平面到一点的距离215

5 平面的截距方程式217

6 按照方程式来作平面217

7 两平面间的角219

8 通过三个给与点的平面的方程式221

第五章 欧氏空间的直线222

1 直线的方程式222

2 通过两点的直线224

3 把直线的方程式组化做典式的形状224

4 两直线间的角227

5 直线及平面间的角228

6 直线在平面上的条件230

7 通过一点及一线的平面231

8 两直线相交的条件232

9 三向量的二重向量积232

10 拉普拉斯定理233

11 两交叉直线间的距离234

12 从一点引向一直线的垂线235

第六章 投射空间236

1 一点的齐次坐标236

2 投射空间237

3 扩大的欧氏空间237

4 三个平面的交点240

5 四点同在一平面上的条件242

6 解析点243

7 投射坐标245

8 在扩大空间内的投射坐标246

9 投射坐标系的变换247

10 锥面248

11 平面的束及汇249

12 复投射空间250

1 空间的投射变换253

第七章 空间的投射变换及仿射变换253

2 投射变换的解析表达式254

3 投射变换的群255

4 投射几何257

5 仿射变换的群259

6 仿射几何261

7 空间移位的群262

第八章 投射空间内二阶曲面的一般性质263

1 二阶曲面的一般方程式263

2 曲面与直线的相交263

3 曲面与平面的相交264

4 曲面上椭圆的、双曲的及抛物的点267

第九章 极点及极面的理论270

1 一对极共轭的点270

2 极形式272

4 切面273

3 极面273

5 极对应的变态274

6 判别式的秩等于二的时候极对应的变态276

7 判别式的秩等于一的时候极对应的变态276

第十章 自极四面角277

1 平面及直线的极共轭性277

2 Ⅰ类自极四面角278

3 Ⅱ类自极四面角279

4 Ⅲ类自极四面角280

5 锥面的自极四面角281

第十一章 投射空间内二阶曲面的典式282

1 二阶曲面对于Ⅰ类自极四面角的方程式282

2 投射空间二阶曲面方程式的典形282

3 投射空间内二阶曲面的分类284

4 形式的标数285

5 曲面的外点及内点286

6 变态曲面的分类287

7 第二及第三次方的变态288

8 投射坐标变换的相对不变式288

第十二章 二阶曲面的仿射理论291

1 二阶曲面的广义曲线291

2 二阶曲面的分类291

3 二阶曲面的中心293

4 中心的坐标294

5 不定中心的曲面295

6 中心面296

7 直径面297

8 直径面的方程式及给与指向的共轭弦297

9 二阶曲面的直径298

10 共轭直径299

11 两指向的共轭性的条件300

12 三共轭直径组300

1 在仿射几何内二阶有心曲面的典式301

第十三章 在仿射空间内二阶曲面的典式301

2 卡氏斜角坐标系内的二阶有心曲面304

3 连系到Ⅱ类自极四面角上去的二阶曲面的方程式306

4 仿射几何内抛物面的典式307

5 在卡氏斜角坐标系内的抛物面方程式309

6 在仿射几何内变态二阶曲面的分类309

7 二阶曲面的平截痕311

8 二阶曲面的平行的平截痕313

9 渐近锥面314

10 关于仿射坐标系变换的二阶曲面的不变式315

11 直母线316

第十四章 在欧氏空间内二阶曲面的典式318

1 特征方程式318

2 特征方程式的根的不变性320

3 关于特征方程式有三个单根的情况下的存在定理322

4 在特征方程式有两根相等的情况下的存在定理325

5 特征方程式三根的相等327

6 欧氏空间内二阶曲面的典式328

7 卡氏直角坐标系变换的不变式330

8 二阶曲面方程式的导向典式形状332

9 曲面自身许可运动的曲面的不变式334

10 二阶曲面的不变特征336

第十五章 二阶曲面的平截痕339

1 任意平面截二阶曲面所得的截痕339

2 平行于主向的平面交椭圆面所得的截痕339

3 单叶双曲面给平行于主面的平面所截得的截痕341

4 两叶双曲面给平行于主面的平面所截得的截痕343

5 有主向的平面交椭圆抛物面所得的截痕344

6 有主向的平面交双曲抛物面所得的截痕345

7 二阶曲面的圆截痕及环点347

8 二阶有心曲面的圆截痕349

9 椭圆抛物面的圆截痕350