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5 无穷级数1

5.1 数项级数1

5.1.1 无穷级数的概念1

5.1.2 级数的基本性质3

5.1.3 正项级数的收敛判别法4

5.1.4 任意项级数的收敛判别法12

5.1.5 绝对收敛与条件收敛级数的性质14

5.1.6 级数的乘法18

5.1.7 级数收敛性的改进20

习题122

5.2 无穷乘积26

5.2.1 无穷乘积的概念26

5.2.2 无穷乘积的性质27

5.2.3 无穷乘积的收敛判别法28

5.2.4 无穷乘积的绝对收敛性30

习题231

5.3 函数项级数32

5.3.1 收敛域33

5.3.2 一致收敛的定义35

5.3.3 一致收敛的判别法38

5.3.4 一致收敛级数的和的性质46

5.3.5 处处连续处处不可导函数的例子50

习题352

5.4 幂级数54

5.4.1 幂级数的收敛半径55

5.4.2 幂级数的性质58

5.4.3 函数展为幂级数61

5.4.4 母函数68

习题471

5.5 逼近定理73

5.5.1 用多项式一致逼近连续函数73

5.5.2 用三角多项式一致逼近连续函数76

习题577

6 多元函数及其微分学78

6.1 R2中的拓扑知识78

6.1.1 开集和闭集79

6.1.2 R2的完备性82

6.1.3 R2的紧性84

习题185

6.1.4 区域85

6.2 多元函数及其连续性87

6.2.1 多元函数的概念87

6.2.2 多元函数的极限88

6.2.3 多元函数的连续性90

习题293

6.3 偏导数和全微分96

6.3.1 多元函数对于向量的导数96

6.3.2 方向导数和偏导数98

6.3.3 全微分101

6.3.4 复合函数求导法104

习题3107

6.4 隐函数存在定理111

6.4.1 一个方程的情形111

6.4.2 方程组的情形114

习题4116

6.5 Taylor公式与极值118

6.5.1 Taylor公式118

6.5.2 极值121

6.5.3 Lagrange乘数法125

习题5129

6.6 Jacobi行列式的性质、函数相关性和多元凸函数130

6.6.1 Jacobi行列式的性质130

6.6.2 函数相关性131

6.6.3 多元凸函数134

习题6135

6.7 曲线和曲面136

6.7.1 空间曲线的切线及法平面136

6.7.2 曲面的法线及切平面137

6.7.3 曲面和曲线的隐表示139

习题7141

7 多元函数积分学143

7.1 二重积分143

7.1.1 零面积集144

7.1.2 二重积分的定义145

7.1.3 二重积分存在的充要条件146

7.1.4 二重积分的等价定义147

7.1.5 关于集函数151

习题1152

7.2 可积函数类和二重积分的性质153

7.2.1 可积函数类153

7.2.2 二重积分的性质155

7.3 二重积分的计算157

习题2157

7.3.1 化二重积分为累次积分158

7.3.2 二重积分的换元积分法162

7.3.3 曲面面积169

习题3171

7.4 广义二重积分174

7.4.1 无界区域上的广义二重积分174

7.4.2 无界函数的广义二重积分178

7.5 三重积分和n重积分180

习题4180

7.5.1 化三重积分为累次积分181

7.5.2 三重积分的换元积分法184

7.5.3 n重积分187

7.5.4 重积分的物理应用举例190

习题5191

7.6 曲线积分和曲面积分193

7.6.1 第一型曲线积分194

7.6.2 第一型曲面积分195

7.6.3 第二型曲线积分197

7.6.4 Green公式199

7.6.5 第二型曲面积分201

7.6.6 Gauss公式和Stokes公式204

7.6.7 微分与曲线积分的关系208

习题6211

7.7 场论初步215

7.7.1 数量场的等值面和梯度215

7.7.2 向量场的散度和旋度217

7.7.3 有势场222

7.7.4 无源场224

习题7226

7.8 外微分形式的积分227

7.8.1 外微分形式的外积227

7.8.2 外微分形式的微分229

7.8.3 外微分形式的积分229

习题8230

8 含参变量积分231

8.1 含参变量的常义积分231

8.1.1 积分限是常数的情形231

8.1.2 积分限含参变量的情形233

习题1235

8.2 含参变量的广义积分236

8.2.1 一致收敛的定义236

8.2.2 一致收敛的判别法238

8.2.3 一致收敛积分的性质241

8.2.4 两个重要的广义积分246

习题2248

8.3 Γ函数和B函数249

8.4 大参数积分的渐近式255

习题3255

8.4.1 分部积分法256

8.4.2 Γ函数的渐近式257

8.4.3 局部化方法260

习题4260

9 Fourier级数262

9.1 Fourier级数263

9.1.1 Fourier级数263

9.1.2 Dirichlet积分264

9.1.3 Riemann引理266

9.1.4 收敛判别法269

9.1.5 把周期函数展开成Fourier级数272

9.1.6 Fourier级数的复数形式275

习题1277

9.2 Fourier级数的均值求和277

9.2.1 均值求和278

9.2.2 Fejér定理279

习题2282

9.3.1 Fourier系数的最小性质283

9.3.2 Parseval等式283

9.3 最佳均方逼近283

9.3.3 Fourier级数的逐项积分与微分287

习题3288

9.4 Fourier变换289

9.4.1 Fourier积分公式289

9.4.2 收敛定理290

9.4.3 Fourier变换292

习题4295

习题提示摘要297

跋309

参考书目310