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第1章 行列式1

1.1 行列式的定义1

1.1.1 二阶、三阶行列式1

1.1.2 数码的排列3

1.1.3 n阶行列式的定义5

历史寻根：行列式8

习题1.18

1.2 行列式的性质8

习题1.214

1.3 行列式的展开定理14

1.3.1 余子式和代数余子式14

1.3.2 行列式按行（列）展开定理15

1.3.3 拉普拉斯（Laplace）展开定理18

背景聚焦：解析几何中的行列式20

习题1.321

1.4 行列式的计算22

1.4.1 利用行列式的定义22

1.4.2 化为上（下）三角形行列式23

1.4.3 利用行列式展开定理23

方法索引：数学归纳法24

1.4.4 数学归纳法24

历史寻根：范德蒙25

1.4.5 递推法26

1.4.6 升阶法（加边法）26

1.4.7 利用已知行列式27

1.4.8 综合例题28

习题1.430

1.5 克莱姆（Cramer）法则30

历史寻根：克莱姆34

习题1.534

总习题一35

第2章 矩阵39

2.1 矩阵的定义与运算39

2.1.1 矩阵的概念39

历史寻根：矩阵41

2.1.2 矩阵的加法41

2.1.3 数乘矩阵42

2.1.4 矩阵与矩阵的乘法43

2.1.5 方阵的幂运算46

2.1.6 矩阵的转置47

2.1.7 共轭矩阵48

背景聚焦：天气的马尔可夫（Markov）链48

习题2.149

2.2 几种特殊的矩阵50

2.2.1 对角矩阵、数量矩阵和单位矩阵50

2.2.2 上（下）三角形矩阵51

2.2.3 对称矩阵和反对称矩阵51

2.2.4 基本单位矩阵53

习题2.253

2.3 可逆矩阵54

2.3.1 方阵的行列式54

2.3.2 方阵的逆56

2.3.3 矩阵方程59

背景聚焦：矩阵密码法60

习题2.361

2.4 矩阵的分块62

2.4.1 矩阵的分块及运算62

2.4.2 可逆分块矩阵67

习题2.469

2.5 矩阵的初等变换与初等矩阵69

2.5.1 矩阵的初等变换70

2.5.2 初等矩阵71

2.5.3 初等矩阵与初等变换73

2.5.4 用初等变换的方法求逆矩阵74

习题2.576

2.6 矩阵的秩77

2.6.1 子式77

2.6.2 矩阵的秩78

2.6.3 初等变换求矩阵的秩78

2.6.4 几个常见的结论81

历史寻根：凯莱82

习题2.683

总习题二83

第3章 向量与线性方程组87

3.1 线性方程组解的存在性87

3.1.1 高斯（Gauss）消元法87

3.1.2 线性方程组解的存在性89

历史寻根：线性方程组94

习题3.195

3.2 向量组的线性相关性96

3.2.1 n维向量的概念96

3.2.2 线性表示与线性组合98

3.2.3 线性相关与线性无关99

3.2.4 线性相关性的几个定理100

历史寻根：向量102

习题3.2103

3.3 向量组的秩103

3.3.1 向量组的等价104

3.3.2 极大线性无关组与向量组的秩105

3.3.3 向量组的秩与矩阵的秩的关系107

习题3.3110

3.4 向量空间111

3.4.1 向量空间的概念111

3.4.2 基、维数与坐标112

3.4.3 子空间及其维数114

习题3.4116

3.5 线性方程组解的结构116

3.5.1 齐次线性方程组解的结构116

3.5.2 非齐次线性方程组解的结构120

习题3.5124

总习题三125

第4章 矩阵相似对角化129

4.1 欧氏空间Rn129

4.1.1 内积的概念129

4.1.2 标准正交基131

4.1.3 正交矩阵及其性质135

习题4.1136

4.2 方阵的特征值和特征向量137

4.2.1 特征值和特征向量的基本概念137

方法索引：求实系数多项式的实根138

4.2.2 特征值的性质139

背景聚焦：特征值与Buckey球的稳定性142

4.2.3 特征向量的性质142

历史寻根：特征值和特征向量144

习题4.2145

4.3 矩阵相似对角化条件145

4.3.1 相似矩阵145

4.3.2 矩阵可对角化条件147

4.3.3 矩阵相似对角化的应用149

背景聚焦：工业增长模型151

习题4.3152

4.4 实对称矩阵的相似对角化153

4.4.1 实对称矩阵的特征值和特征向量153

4.4.2 实对称矩阵相似对角化153

背景聚焦：面貌空间157

习题4.4157

4.5 Jordan标准形介绍158

4.5.1 Jordan矩阵158

4.5.2 Jordan标准形定理159

4.5.3 Jordan标准形的求法160

历史寻根：矩阵论165

总习题四166

第5章 二次型169

5.1 二次型及其矩阵表示169

5.1.1 基本概念169

5.1.2 线性替换171

5.1.3 矩阵的合同172

历史寻根：二次型172

习题5.1173

5.2 化二次型为标准形173

5.2.1 正交替换法174

5.2.2 配方法176

5.2.3 初等变换法178

习题5.2180

5.3 化二次型为规范形181

5.3.1 实二次型的规范形181

5.3.2 复二次型的规范形183

习题5.3184

5.4 正定二次型和正定矩阵184

5.4.1 基本概念185

5.4.2 正定二次型的判定185

5.4.3 正定矩阵的性质191

5.4.4 其他有定二次型192

习题5.4193

总习题五194

第6章 线性空间与线性变换197

6.1 线性空间的概念197

6.1.1 线性空间的定义与例子197

6.1.2 线性空间的简单性质199

6.1.3 子空间200

6.1.4 实内积空间201

习题6.1203

6.2 线性空间的基、维数和坐标204

6.2.1 基与维数205

6.2.2 坐标206

6.2.3 基变换与坐标变换207

习题6.2210

6.3 线性变换210

6.3.1 线性变换的概念210

6.3.2 线性变换的简单性质212

6.3.3 线性变换的矩阵表示213

习题6.3215

6.4 线性变换在不同基下的矩阵215

习题6.4218

总习题六219

附录222

附录A 矩阵特征问题的数值解222

附录B 广义逆矩阵简介227

附录C 数域与多项式简介230

附录D Maple的基本知识234

部分习题答案与提示240

参考文献261