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第1章 绪论1

1.1计算机科学计算研究的对象和特点1

1.2误差分析与数值方法的稳定性4

1.2.1误差的来源与分类4

1.2.2误差的基本概念和有效数字5

1.2.3函数计算的误差估计7

1.2.4计算机浮点数表示和舍入误差10

1.2.5数值方法的稳定性和避免误差危害的基本原则11

1.3向量与矩阵的范数16

1.3.1向量范数16

1.3.2范数的等价性19

1.3.3矩阵范数20

1.3.4相容矩阵范数的性质25

习题127

第2章 矩阵变换和计算30

2.1矩阵的三角分解及其应用30

2.1.1 Gauss消去法与矩阵的LU分解30

2.1.2 Gauss列主元消去法与带列主元的LU分解40

2.1.3对称矩阵的Cholesky分解46

2.1.4三对角矩阵的三角分解48

2.1.5条件数与方程组的性态51

2.1.6矩阵的QR分解55

2.2特殊矩阵的特征系统59

2.3矩阵的Jordan分解介绍65

2.4矩阵的奇异值分解76

2.4.1矩阵奇异值分解的几何意义76

2.4.2矩阵的奇异值分解77

2.4.3用矩阵的奇异值分解讨论矩阵的性质83

习题284

第3章 矩阵分析基础87

3.1矩阵序列与矩阵级数87

3.1.1矩阵序列的极限87

3.1.2矩阵级数90

3.2矩阵幂级数94

3.3矩阵的微积分105

3.3.1相对于数量变量的微分和积分105

3.3.2相对于矩阵变量的微分108

3.3.3矩阵在微分方程中的应用109

习题3112

第4章 逐次逼近法115

4.1解线性方程组的迭代法115

4.1.1简单迭代法116

4.1.2迭代法的收敛性122

4.2非线性方程的迭代解法126

4.2.1简单迭代法127

4.2.2 Newton迭代法及其变形132

4.2.3多根区间上的逐次逼近法136

4.3计算矩阵特征问题的幂法139

4.3.1幂法139

4.3.2反幂法144

4.4迭代法的加速146

4.4.1基本迭代法的加速（SOR）147

4.4.2 Aitken加速150

4.5共轭梯度法153

4.5.1最速下降法154

4.5.2共轭梯度法（简称CG法）155

习题4159

第5章 插值与逼近166

5.1引言166

5.1.1插值问题166

5.1.2插值函数的存在唯一性、插值基函数167

5.2多项式插值和Hermite插值168

5.2.1 Lagrange插值公式169

5.2.2 Newton插值公式170

5.2.3插值余项172

5.2.4 Hermite插值173

5.2.5分段低次插值176

5.3三次样条插值177

5.3.1样条函数177

5.3.2三次样条插值及其收敛性178

5.4 B-样条函数183

5.4.1 B-样条函数及其基本性质183

5.4.2 B-样条函数插值186

5.5正交函数族在逼近中的应用189

5.5.1正交多项式简介189

5.5.2函数的最佳平方逼近192

5.5.3数据拟合的最小二乘法193

习题5196

第6章 插值函数的应用198

6.1基于插值公式的数值微积分198

6.1.1数值求积公式及其代数精度198

6.1.2复化Newton-Cotes公式201

6.1.3数值微分公式203

6.2 Gauss型求积公式206

6.2.1基于Hermite插值的Gauss型求积公式206

6.2.2常见的Gauss型求积公式与Gauss型求积公式的数值稳定性208

6.3外推加速原理与Romberg算法209

6.3.1逐次折半算法210

6.3.2外推加速公式与Romberg算法211

习题6214

第7章 常微分方程的数值解法217

7.1引言217

7.1.1一阶常微分方程的初值问题217

7.1.2线性单步法218

7.1.3 Taylor展开法220

7.1.4显式Runge-Kutta法220

7.2线性多步法227

7.2.1积分插值法（基于数值积分的解法）227

7.2.2待定系数法（基于Taylor展开式的求解公式）230

7.2.3预估—校正算法235

7.3收敛性、绝对稳定性与绝对稳定区域236

7.3.1收敛性236

7.3.2绝对稳定性与绝对稳定区域236

7.4刚性问题及其求解公式241

7.4.1刚性问题243

7.4.2隐式Runge-Kutta法246

7.4.3求解刚性方程的线性多步法249

7.5边值问题的数值解法251

7.5.1打靶法251

7.5.2差分法255

7.6暂态历程的精细计算方法258

7.6.1关于暂态计算的方法258

7.6.2齐次方程的精细积分259

7.6.3非齐次方程的精细积分260

7.6.4数值例题261

7.6.5精度分析263

习题7264

第8章 特殊类型积分的数值方法267

8.1引言267

8.2反常积分的数值解法267

8.2.1无界函数的数值积分267

8.2.2无穷区间上函数的数值积分270

8.3振荡函数的数值积分法272

8.4二重积分的机械求积法275

8.5重积分Monte Carlo求积法280

习题8283

第9章 小波变换284

9.1从Fourier变换到小波变换284

9.1.1 Fourier变换284

9.1.2窗口Fourier变换286

9.1.3小波变换287

9.2多分辨率分析与正交小波基的构造289

9.3 Mallat算法292

习题9294

第10章 矩阵特征对的数值解法295

10.1求特征方程根的方法295

10.1.1 A为Jacobi矩阵295

10.1.2 A为对称矩阵299

10.2分而治之法302

10.2.1矩阵的分块302

10.2.2分而治之计算305

10.3 QR法308

10.3.1 QR迭代的基本方法308

10.3.2 Hessenberg矩阵的QR法309

10.3.3带有原点位移的QR法312

10.3.4对称QR法315

10.4 Lanczos算法316

10.4.1 Lanczos迭代316

10.4.2 Lanczos迭代的收敛性讨论319

习题10323

附录1相关的基础知识326

一、线性空间326

1.常用的线性空间326

2.线性子空间327

3.线性子空间中元素组的线性相关性328

4.线性空间的基和维数328

5.线性空间V中子空间的某些基本性质328

6.内积的表示及Cauchy-Schwarz不等式329

7.Cn的正交分解330

二、某些矩阵及其基本性质330

1.对角矩阵和三角矩阵332

2.正交向量与矩阵333

3.Hermite正定矩阵（半定矩阵）334

4.初等矩阵335

5.初等置换矩阵与置换矩阵337

附录2有关计算理论简介338

一、关于误差分析338

1.关于数值问题的性态338

2.关于算法的稳定性343

二、关于计算复杂性344

1.简述“问题复杂度”344

2.算法有效性346

附录3数值实验349

部分习题答案与提示358

符号说明376

参考文献378