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第一章 矩阵与行列式1

1.0预备知识1

1.0.1集合1

1.0.2数集3

1.0.3数域4

1.0.4求和号Σ5

1.1线性型和矩阵概念的引入7

1.1.1矩阵的定义7

1.1.2常用矩阵8

1.2矩阵的运算10

1.2.1矩阵的线性运算10

1.2.2矩阵的乘法14

1.2.3方阵的幂与方阵多项式20

1.2.4方阵的迹23

1.3方阵的行列式24

1.3.1 2阶和3阶行列式24

1.3.2排列28

1.3.3 n阶行列式的定义29

1.4行列式的基本性质33

1.4.1行列式的转置33

1.4.2行列式的行线性性和列线性性34

1.4.3行列式的初等变换35

1.4.4行列式的按行（列）展开39

1.4.5 Laplace定理43

1.5行列式的计算52

1.5.1三角化52

1.5.2降阶法与镶边法55

1.5.3归纳与递推60

1.6可逆矩阵65

1.6.1可逆矩阵65

1.6.2逆矩阵的求法69

1.6.3 Cramer法则71

1.7分块矩阵76

1.7.1矩阵的分块77

1.7.2分块矩阵的运算79

1.7.3分块对角矩阵83

习题一86

第二章 线性方程组理论101

2.1矩阵的相抵标准形101

2.1.1初等矩阵和矩阵的初等变换101

2.1.2矩阵的秩111

2.1.3矩阵的相抵标准形114

2.1.4求逆矩阵的初等变换法116

2.2分块矩阵的初等变换119

2.2.1分块矩阵的初等变换119

2.2.2分块初等矩阵120

2.2.3行列式和矩阵计算中的分块技巧123

2.3解线性方程组的消元法126

2.3.1线性方程组的矩阵形式126

2.3.2线性方程组的初等变换128

2.3.3线性方程组的相容性132

2.4向量空间Kn135

2.4.1向量空间Kn及其运算性质135

2.4.2线性子空间136

2.5向量组的秩139

2.5.1线性组合·线性方程组的向量形式139

2.5.2线性相关与线性无关144

2.5.3极大线性无关组·向量组的秩149

2.5.4向量组的秩与矩阵的秩151

2.6线性方程组解的结构154

2.6.1齐次线性方程组的解空间154

2.6.2非齐次线性方程组解的结构159

习题二164

第三章 相似矩阵182

3.1方阵的特征值与特征向量182

3.1.1方阵的特征值与特征向量182

3.1.2特征值与特征向量的求法184

3.1.3特征值的性质188

3.1.4特征向量的性质194

3.2矩阵的相似变换196

3.2.1矩阵相似的概念196

3.2.2相似矩阵的性质198

3.3矩阵相似于对角矩阵的条件201

3.3.1矩阵相似于对角矩阵的条件201

3.3.2特征值的代数重数和几何重数207

3.3.3方阵的Jordan标准形215

3.4方阵的最小多项式218

3.4.1方阵的化零多项式218

3.4.2最小多项式220

3.4.3最小多项式与方阵相似于对角矩阵的条件224

3.5相似标准形的若干简单应用226

3.5.1行列式求值与方阵求幂226

3.5.2求与给定方阵可交换的方阵232

3.5.3求解线性微分方程组235

习题三243

第四章 二次型与对称矩阵251

4.1二次型及其标准形251

4.1.1二次型及其矩阵表示251

4.1.2二次型的标准形253

4.1.3实对称矩阵的合同标准形257

4.2惯性定理与二次型分类259

4.2.1惯性定理259

4.2.2实二次型的分类261

4.2.3二次曲线与二次曲面的仿射分类262

4.3正定二次型266

4.3.1正定二次型266

4.3.2二次型正定性判别法267

4.4正交向量组与正交矩阵272

4.4.1向量的内积272

4.4.2正交向量组275

4.4.3正交矩阵278

4.5实对称矩阵的正交相似标准形280

4.5.1实对称矩阵的特征值和特征向量281

4.5.2实对称矩阵的正交相似标准形282

4.5.3用正交替换化二次型为标准形286

习题四289

第五章 线性空间与线性变换297

5.1线性空间的概念297

5.1.1线性空间的定义297

5.1.2线性空间的简单性质298

5.1.3线性子空间299

5.2线性空间的同构300

5.2.1基·维数·坐标300

5.2.2基变换与坐标变换304

5.2.3线性空间的同构310

5.3欧氏空间313

5.3.1欧氏空间的定义与基本性质314

5.3.2标准正交基317

5.3.3欧氏空间的同构319

5.4线性变换320

5.4.1线性变换的概念与运算320

5.4.2线性变换的性质324

5.5线性变换的矩阵325

5.5.1线性变换在给定基下的矩阵325

5.5.2线性变换在不同基下矩阵间的关系328

5.6线性变换的值域和核335

5.6.1线性变换的值域和核的概念335

5.6.2值域和核的维数336

习题五340

习题答案与提示350

索引380

参考文献383