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第1章 基本概念1

1.1 什么是图1

1.1.1 定义1

1.1.2 图模型2

1.1.3 矩阵与同构4

1.1.4 分解和特殊图7

1.1.5 习题9

1.2 路径、环和迹13

1.2.1 图的连通13

1.2.2 二分图16

1.2.3 欧拉回路18

1.2.4 习题21

1.3 顶点度和计数24

1.3.1 计数和双射24

1.3.2 极值问题27

1.3.3 图解序列31

1.3.4 习题33

1.4 有向图38

1.4.1 定义和例子38

1.4.2 顶点度41

1.4.3 欧拉有向图42

1.4.4 定向图和竞赛图44

1.4.5 习题45

第2章 树和距离48

2.1 基本性质48

2.1.1 树的性质48

2.1.2 树和图中的距离50

2.1.3 不相交生成树（选学）53

2.1.4 习题54

2.2 生成树和枚举58

2.2.1 树的枚举58

2.2.2 图的生成树60

2.2.3 分解和优美标记63

2.2.4 分叉与欧拉有向图（选学）64

2.2.5 习题66

2.3 优化和树69

2.3.1 最小生成树69

2.3.2 最短路径71

2.3.3 计算机科学中的树（选学）73

2.3.4 习题75

第3章 匹配和因子78

3.1 匹配与覆盖78

3.1.1 最大匹配79

3.1.2 Hall匹配条件80

3.1.3 最小－最大定理81

3.1.4 独立集与覆盖82

3.1.5 支配集（选学）84

3.1.6 习题86

3.2 算法及应用90

3.2.1 最大二分匹配90

3.2.2 加权二分匹配91

3.2.3 稳定匹配（选学）95

3.2.4 快速二分匹配（选学）97

3.2.5 习题98

3.3 一般图中的匹配99

3.3.1 Tutte 1-因子定理100

3.3.2 图的f-因子（选学）102

3.3.3 Edmonds开花算法（选学）103

3.3.4 习题106

第4章 连通度和路径109

4.1 割与连通度109

4.1.1 连通度109

4.1.2 边连通度通常111

4.1.3 块113

4.2 k-通图117

4.2.1 2-连通图117

4.2.2 有向图的连通度119

4.2.3 k-通图与k-边连通图120

4.2.4 Menger定理的应用123

4.2.5 习题125

4.3 网络流问题128

4.3.1 最大网络流128

4.3.2 整数流132

4.3.3 供应与需求（选学）134

4.3.4 习题137

第5章 图的着色140

5.1 顶点着色和上界140

5.1.1 定义和实例140

5.1.2 上界142

5.1.3 Brooks定理145

5.1.4 习题146

5.2 k-色图的构造150

5.2.1 大色数图150

5.2.2 极值问题与Turán定理151

5.2.3 颜色－临界图153

5.2.4 强制细分155

5.2.5 习题157

5.3 计数方面的问题161

5.3.1 真着色的计数161

5.3.2 弦图164

5.3.3 完美图点滴166

5.3.4 无环定向的计数（选学）167

5.3.5 习题168

第6章 可平面图171

6.1 嵌入与欧拉公式171

6.1.1 平面作图171

6.1.2 对偶图173

6.1.3 欧拉（Euler）公式176

6.1.4 习题178

6.2 可平面图的特征179

6.2.1 Kuratowski定理的预备知识180

6.2.2 凸嵌入181

6.2.3 可平面性的测试（选学）184

6.2.4 习题186

6.3 可平面性的参数188

6.3.1 可平面图的着色188

6.3.2 交叉数191

6.3.3 具有更高亏格的表面（选学）195

6.3.4 习题198

第7章 边和环201

7.1 线图与边着色201

7.1.1 边着色201

7.1.2 线图的性质（选学）206

7.1.3 习题208

7.2 哈密顿环210

7.2.1 必要条件211

7.2.2 充分条件212

7.2.3 有向图中的环（选学）216

7.2.4 习题216

7.3 可平面性、着色与环220

7.3.1 Tait定理220

7.3.2 Grinberg定理222

7.3.3 鲨鱼图（选学）223

7.3.4 流与环覆盖（选学）225

7.3.5 习题230

第8章 其他主题234

8.1 完美图234

8.1.1 完全图定理235

8.1.2 弦图的再研究237

8.1.3 其他完美图类240

8.1.4 非完美图245

8.1.5 强完美图猜想249

8.1.6 习题252

8.2 拟阵255

8.2.1 遗传系统及示例256

8.2.2 拟阵的性质259

8.2.3 生成函数262

8.2.4 拟阵的对偶264

8.2.5 拟阵的子式与可平面对偶266

8.2.6 拟阵的交268

8.2.7 拟阵的并271

8.2.8 习题273

8.3 拉姆齐理论278

8.3.1 鸽巢原理的再研究278

8.3.2 拉姆齐（Ramsey）定理279

8.3.3 拉姆齐数282

8.3.4 图的拉姆齐理论284

8.3.5 Sperner引理和带宽286

8.3.6 习题289

8.4 其他极值问题292

8.4.1 图的编码293

8.4.2 分叉和流言299

8.4.3 序列着色和可选择性302

8.4.4 由路径和环构成的划分305

8.4.5 周长307

8.4.6 习题312

8.5 随机图314

8.5.1 存在性和数学期望315

8.5.2 几乎所有图均具有的性质318

8.5.3 阈值函数320

8.5.4 图的演变和图的参数323

8.5.5 连通度、团和着色326

8.5.6 鞅328

8.5.7 习题333

8.6 图的特征值336

8.6.1 特征多项式337

8.6.2 线性代数和实对称阵339

8.6.3 特征值和图参数341

8.6.4 正则图的特征值343

8.6.5 特征值与扩张图345

8.6.6 强正则图346

8.6.7 习题349

附录A数学基础352

附录B最优化和复杂度369

附录C部分习题提示379

附录D术语表385

附录E补充阅读404

附录F参考文献408

附录G术语对照表440