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第一章 复数1

1.1 复数的概念1

1.2 复数的四则运算1

1.3 共轭复数3

1.4 复数的几何表示法4

1.5 复数的模与辐角公式7

1.6 复数的方根9

1.7 复数的和、差的几何表示及其模的不等式11

1.8 复数的模与辐角的公式的应用12

1.9 无穷远点与复数球面17

提要与习题18

第二章 平面点集初步24

2.1 点集概念24

2.2 邻域、内点、外点、界点、聚点24

2.3 区域27

2.4 约当曲线27

2.5 单连通区域与复连通区域28

2.6 复盖定理、聚点原理32

提要与习题36

第三章 解析函数40

3.1 复变函数的概念40

3.2 函数极限与函数的连续性42

3.3 解析函数的概念48

3.4 微分法的基本公式50

3.5 歌西--黎曼条件52

提要与习题57

第四章 初等函数63

4.1 指数函数63

4.2 三角函数与双曲线函数65

4.3 对数函数69

4.4 反三角函数与反双曲线函数75

4.5 一般幂函数77

提要与习题83

第五章 复变函数积分89

5.1 复变函数积分的概念89

5.2 积分的存在定理及其计算公式91

5.3 积分的基本性质94

5.4 解析函数的基本定理97

5.5 复连通区域的歌西积分定理105

5.6 歌西积分公式107

5.7 解析函数的高阶导数111

5.8 歌西不等式116

5.9 李乌威尔定理117

5.10 代数基本定理117

5.11 不定积分119

5.12 莫瑞拉定理121

提要与习题122

第六章 数值级数与函数项级数130

6.1 序列130

6.2 复数项级数132

6.3 绝对收敛级数133

6.4 函数项级数138

6.5 幂级数145

6.6 负整数次幂级数152

提要与习题153

第七章 解析函数的台劳展开式及其应用161

7.1 解析函数的台劳展开式161

7.2 初等函数的台劳展开式165

7.3 解析函数的零点的孤立性与唯一性定理170

7.4 最大模原理173

7.5 幂级数系统的歌西不等式175

提要与习题176

第八章 解析函数的罗朗展开式与孤立奇点181

8.1 罗朗级数181

8.2 解析函数的罗朗展开式182

8.3 孤立奇点的分类189

8.4 可去奇点190

8.5 极点191

8.6 本性奇点194

8.7 无穷远点是奇点的情形196

8.8 整函数与亚纯函数198

提要与习题201

第九章 留数理论及其应用207

9.1 留数的概念与计算207

9.2 无穷远点的留数概念及其计算211

9.3 留数基本定理212

9.4 解析函数的零点的个数与辐角原理214

9.5 路西定理217

9.6 代数基本定理的又一证明219

9.7 利用留数理论计算定积分219

提要与习题232

第十章 保形映照与线性变换240

10.1 保角映照的一般概念--导数的几何意义240

10.2 单叶解析函数的保形性247

10.3 分式线性变换的保形性247

10.4 线性变换保持交比的不变性250

10.5 线性变换的分解253

10.6 线性变换的保圆性255

10.7 对称点的不变性257

10.8 三个重要的线性变换258

10.9 保形映照的黎曼存在定理263

10.10 保形映照的边界对应定理264

10.11 正整次幂函数与指数函数所构成的映照268

提要与习题272

第十一章 解析开拓278

11.1 解析开拓的概念278

11.2 两个常用的解析开拓的方法279

11.3 解析开拓的幂级数方法281

11.4 函数不能作解析开拓的例283

11.5 黎曼曲面286

11.6 对称原理288

11.7 完全解析函数的概念291

11.8 上半平面到多角形的保形映照292

提要与习题299

第十二章 调和函数304

12.1 调和函数的定义和基本性质304

12.2 中值公式308

12.3 普阿松公式与狄里克莱问题309

提要与习题315

附录 部分习题参考答案318