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第一篇　函数与极限1

第一章　函数1

§1　变量1

1.1　实数系1

1.2　常量与变量2

1.3　变量的变域3

§2　函数4

2.1　函数的概念4

2.2　函数的对应关系6

2.3　函数的定义域7

2.4　函数的图形和函数的特性8

3.1　函数的运算14

§3 函数的运算和映射14

3.2　映射17

§4 初等函数21

4.1　初等函数21

4.2　双曲函数26

第二章　数列极限与函数极限29

§1 数列极限29

1.1　数列的概念29

1.2　具有稳定趋向的数列29

1.3　数列极限概念的精确化之一31

1.4　数列极限概念的精确化之二39

§2 收敛数列的性质和运算43

2.1　收敛数列的性质43

2.2　数列极限的四则运算46

3.1　夹挤定理51

§3 数列收敛的判别法51

3.2　单调有界原理54

3.3　上、下极限与柯西准则58

§4 函数极限67

4.1 自变量的变化过程和函数的变化趋向67

4.2　函数的极限概念68

4.3　函数极限的例子71

§5 函数极限的性质和运算76

5.1　函数极限的性质76

5.2　函数极限的四则运算77

§6 函数极限存在的判别法80

6.1　夹挤定理80

6.2　单调有界原理83

6.3　柯西准则84

6.4　海涅定理85

§7 无穷小与无穷大的阶87

7.1　无穷小量阶的比较88

7.2　无穷大量阶的比较89

7.3　无穷小的替换90

第三章　连续函数95

§1 间断和连续的概念95

1.1　间断的概念95

1.2　产生间断的原因及其分类97

1.3　连续的概念99

§2 连续函数的运算和初等函数的连续性102

2.1　连续函数的运算102

2.2　初等函数的连续性104

§3 闭区间上连续函数的基本性质106

1.1　导数的定义113

§1 导数113

第二篇　微分学113

第四章　导数与微分113

1.2　导数的几何意义116

1.3　导数的物理意义117

1.4　可微函数120

§2 求导法则123

2.1　导数的四则运算123

2.2　反函数的导数125

2.3　复合函数的导数127

2.4　初等函数的求导公式130

§3　微分133

3.1　微分的概念133

3.2　微分的运算135

3.3　微分的应用137

§4 累次微分法142

4.1　高阶导数142

4.2　莱布尼兹公式143

4.3　高阶微分145

§5 隐函数及参数方程表示的函数的微分法147

5.1　隐函数的微分法147

5.2　参数方程所表示的函数的微分法148

第五章　中值定理与泰勒公式152

§1 拉格朗日中值定理152

1.1　极值点的概念152

1.2　明显的几何事实153

1.3　中值定理154

1.5　中值定理的推论157

1.4　中值定理的物理意义157

1.6　函数单调性的判别159

§2 柯西中值定理、洛比大法则167

2.1　柯西中值定理167

2.2　不定式的定值法169

§3 泰勒公式176

3.1　函数在可微点附近的近似多项式176

3.2　多项式函数的泰勒公式177

3.3　泰勒公式178

3.4　马克劳林公式181

3.5　泰勒公式应用举例184

§1 最大最小值问题191

1.1　函数的极值和求法191

第六章　微分学的应用191

1.2　最大值及最小值的求法196

1.3　极值应用举例199

§2 微分学在几何上的应用209

2.1　曲线的交角209

2.2　曲线的凸性与拐点210

2.3　曲线的渐近线214

2.4　曲线的曲率与密切圆217

2.5　函数作图224

第三篇　积分学232

第七章 不定积分232

§1 不定积分的概念232

1.1　原函数的概念232

1.2　不定积分的概念233

1.3　不定积分的基本公式234

1.4　不定积分的基本性质235

§2 换元积分法和分部积分法237

2.1　换元积分法238

2.2　分部积分法245

§3 有理函数的积分252

3.1　最简分式的积分252

3.2　有理函数的最简分式分解253

3.3　三角函数的有理式的积分258

3.4　某些无理函数的积分261

第八章　定积分274

§1　求和问题274

1.1　曲边梯形的面积274

1.2　变力做功275

1.3　直线上变速运动的踟276

2.1　定积分定义277

§2　定积分概念277

2.2　可积性条件278

2.3　定积分的几何意义280

§3　定积分的基本性质282

3.1　简单性质282

3.2　定积分的估计法285

3.3　积分中值定理288

§4　微积分学基本定理292

4.1　原函数存在定理293

4.2　微积分学的基本定理294

§5　定积分计算300

5.1　分部积分法分法300

5.2　换元积分法302

1.2　关于微元法的命题311

1.1　区间函数的可加性311

第九章　定积分应用311

§1 微元法311

1.3　用微元法解题的步骤314

§2 面积问题317

2.1 曲边四边形的面积317

2.2　极坐标下的平面图形面积322

2.3　旋转曲面的面积324

§3 体积问题327

3.1 平行截面面积为已知的立体的体积327

3.2　旋转体的体积329

§4 曲线的弧长332

4.1　直角坐标系中曲线的弧长332

4.3　极坐标形式的曲线弧长333

4.2　参数形式的曲线的弧长333

§5 定积分在物理上的应用335

5.1　曲边梯形的质量中心335

5.2　功的计算339

5.3　流体压力和引力342

5.4　平均值345

第十章　广义积分348

§1 无穷积分348

1.1　无穷积分问题348

1.2　无穷积分的收敛和发散概念349

1.3　非负函数无穷积分敛散性的判别352

1.4　一般函数无穷积分敛散性的判别356

§2　无界函数积分366

2.1　无界函数的积分问题366

2.2　无界函数积分的收敛、发散概念367

2.3　非负无界函数积分敛散性的判别370

2.4　一般无界函数积分敛散性的判别373

第四篇　空间解析几何377

第十一章　矢量代数377

§1 空间直角坐标系377

1.1　空间直角坐标系377

1.2　空间点的坐标378

1.3　坐标的平移379

1.4　两点间的距离380

§2　矢量及其几何运算382

2.1　矢量和矢径382

2.2　矢量的加减法383

2.3　数乘矢量385

2.4　矢量组的线性相关性387

§3　矢量的坐标与代数运算390

3.1　矢量的坐标390

3.2　矢量的代数运算392

3.3　矢量的方向余弦和方向数393

§4 矢量的积397

4.1　矢量的数量积397

4.2　矢量的矢量积399

4.3　混合积403

第十二章　平面与直线408

§1 平面与一次方程408

1.1　平面的点法式方程408

1.2　一次方程的图形411

1.3　两平面的夹角415

1.4　点到平面的距离416

1.5　平面的参数方程418

§2 空间直线及其方程421

2.1　空间直线的方程421

2.2　两直线的夹角424

2.3　直线与平面的关系426

2.4　点到直线的距离427

2.5　异面直线间的距离428

2.6　平面束方程429

第十三章　几个特殊的曲面434

§1 曲面与曲线的方程434

1.1 曲面与曲线的一般方程434

1.2　曲面与曲线的参数方程437

2.1　柱面438

§2 柱面和投影柱面438

2.2　投影柱面和投影曲线441

§3 旋转面和锥面443

3.1　旋转面443

3.2　锥面447

§4 二次曲面449

4.1　椭球面449

4.2　单叶双曲面451

4.3　双叶双曲面453

4.4　椭圆抛物面454

4.5　双曲抛物面455

§5 空间区域的简图457

附录1　常用的平面曲线462

附录2　常用的区域简图466

答案和提示469