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第1篇 微积分1

1.1 函数1

1.1.1 求几类函数的表达式1

题型一 求反函数的表达式1

题型二 求分段函数的复合函数2

1.1.2 判别(证明)几类函数的奇偶性3

题型一 判别经四则运算后的函数的奇偶性3

题型二 判别自变量带相反符号的两同名函数的代数和的奇偶性3

题型三 判别复合函数的奇偶性4

题型四 判别原函数F(x)=？f(t)dt的奇偶性4

题型五 判别函数(akx±1)/(akx？1)的奇偶性(a>0，a≠1，k≠0)5

题型六 证明分段函数的奇偶性5

1.1.3 奇、偶函数的几个性质的应用6

习题1.18

1.2 极限、连续10

1.2.1 极限的概念与基本性质10

题型一 正确理解极限定义中的“ε，N”、“ε，δ”、“ε，X”语言的含义10

题型二 正确区别无穷大量与无界变量10

题型三 正确运用极限的保序性、保号性15

题型四 正确运用极限的四则运算法则及夹逼准则求极限15

1.2.2 求未定式极限16

题型一 求？或？型极限16

题型二 求0·∞型极限19

题型三 求∞-∞型极限20

题型四 求幂指函数型(0？，∞？，1∞型)极限21

1.2.3 求数列极限25

题型一 求无穷多项和的极限25

题型二 求无穷多项积的极限29

题型三 求有限项之和或积的数列极限30

题型四 求由递推关系式给出的数列的极限31

1.2.4 求几类子函数形式特殊的函数极限33

题型一 求须先考虑左、右极限的函数极限33

题型二 求含1/x的函数极限35

题型三 求含根式差的函数极限36

题型四 求含指数函数差的函数极限36

题型五 求含极限不存在的有界因式的函数的极限37

1.2.5 计算极限的几类综合题38

题型一 已知含未知函数的一(些)极限，求与该函数有关的函数极限38

题型二 计算需用多个知识点求出的极限39

1.2.6 求极限式中的待定常数40

题型一 求有理函数的极限式中的待定常数40

题型二 确定分式函数极限式中的参数41

题型三 求∞±∞型的根式极限式中的待定常数42

题型四 求含变项积分的极限式中的待定常数43

1.2.7 比较和确定无穷小的阶44

题型一 比较无穷小的阶46

题型二 确定无穷小为几阶无穷小47

题型三 利用无穷小阶的比较求待定常数48

1.2.8 讨论函数的连续性及间断点的类型49

题型一 判别函数的连续性49

题型二 求函数的间断点并判断其类型55

1.2.9 根据函数在某点(或某区间)的连续性确定待定常数56

题型一 利用连续性确定函数中的待定常数56

题型二 利用可导性确定函数中的待定常数58

1.2.10 用连续函数性质证明中值命题59

题型一 证明存在一点ξ，使f(ξ)=k(k为定值)59

题型二 已知函数在闭区间上的取值情况，证明中值等式61

1.2.11 极限在经济活动分析中的应用62

题型一 计算连续复利62

题型二 求解贴现问题63

题型三 计算生产函数的极限64

习题1.264

1.3 一元函数微分学70

1.3.1 导数定义的三点应用70

题型一 讨论函数在某点的可导性70

题型二 利用导数定义求某些函数的极限74

题型三 利用导数定义求函数表达式75

1.3.2 讨论分段函数的可导性及其导函数的连续性76

题型一 讨论分段函数的可导性76

题型二 讨论分段函数的导函数的连续性77

题型三 确定待定常数，使分段函数可导78

1.3.3 讨论含绝对值的函数的可导性80

题型一 讨论绝对值函数|f(x)|的可导性80

题型二 讨论f(x)=|？(x)|g(x)的可导性81

1.3.4 求一元函数的导数和微分83

题型一 求复合函数的导数83

题型二 求反函数的导数84

题型三 求显函数的导数85

题型四 求隐函数的导数86

题型五 求分段函数的一阶、二阶导数88

题型六 求幂指函数f(x)g(x)的导数89

题型七 求某些简单函数的高阶导数90

题型八 求一元函数的微分91

1.3.5 如何构造辅助函数利用罗尔定理证明中值等式92

题型一 证明存在ξ∈(a，b)，使g(ξ)f′(ξ)+h(ξ)f(ξ)=093

题型二 证明存在ξ∈(a，b)，使f′(ξ)+t(ξ)f(ξ)=0，其中t(ξ)=g′(ξ)93

题型三 证明存在ξ∈(a，b)，使g(ξ)f′(ξ)+h(ξ)f(ξ)=Q(ξ)94

题型四 证明存在ξ∈(a，b)，使G(ξ)=095

题型五 证明与区间端点的函数值有关的中值等式96

题型六 已知函数在端点和在别处的取值情况，证明有关的中值等式97

题型七 证明题设中有定积分等式的中值等式98

题型八 证明存在ξ∈(a，b)，使F(k)(ξ)=0(k≥2)100

1.3.6 拉格朗日中值定理的几点应用100

题型一 证明与函数改变量有关的中值等式101

题型二 证明与曲线上切线斜率有关的中值等式102

题型三 已知其导数的性质证明原来函数的性质102

题型四 求中值的(极限)位置103

题型五 证明中值不等式103

1.3.7 利用柯西定理证明中值等式104

题型一 证明一端为两函数增量比的中值等式104

题型二 证明含中值ξ的一端为两函数导数之比的中值等式104

题型三 证明使用柯西定理的两函数没有给出的中值等式106

1.3.8 证明多个中值所满足的中值等式107

1.3.9 利用导数讨论函数性态110

题型一 证明函数在区间I上是一个常数110

题型二 证明(判别)函数的单调性111

题型三 利用极限式讨论函数是否取得极值112

题型四 利用二阶微分方程讨论函数是否取极值，其曲线是否有拐点114

题型五 利用导数(值)的不等式，讨论函数是否取极值，其曲线是否有拐点115

题型六 求函数的单调区间、极值、最值116

题型七 求曲线凹凸区间与拐点118

题型八 求曲线的渐近线120

题型九 利用函数性态作函数图形122

题型十 已知函数的图形，确定其函数或其函数性质124

1.3.10 利用函数性态，讨论方程的根126

题型一 讨论不含参数的方程实根的存在性及其个数126

题型二 讨论含参数的方程实根的存在性及其个数127

1.3.11 利用导数证明不等式129

题型一 证明含有或可化为函数改变量的不等式129

题型二 已知F(a)≥0［或F(b)≥0］证明x>a(或x<b)时F(x)>0129

题型三 证明含常数加项的不等式131

题型四 证明含两个变量的函数不等式132

1.3.12 一元函数微分学的几何应用133

题型一 求平面曲线的切线方程和法线方程133

题型二 求解与切线在坐标轴上的截距有关的问题134

题型三 求解与两曲线相切的有关问题135

1.3.13 导数在经济活动分析中的应用135

题型一 计算弹性137

题型二 计算边际函数138

题型三 求解与边际和弹性有关的应用题138

题型四 求解经济应用中一元函数的最值问题140

习题1.3143

1.4 一元函数积分学149

1.4.1 原函数与不定积分的关系149

题型一 已知某函数，求其原函数149

题型二 已知某函数的一个原函数，求该函数151

1.4.2 计算不定积分152

题型一 计算？f(x)g(x)dx152

题型二 计算简单无理函数的不定积分152

题型三 求？f(x)dx，其中k≠1为正实数155

题型四 求？dx156

题型五 求被积函数含反三角函数为因子函数的积分159

1.4.3 利用定积分性质计算定积分160

题型一 利用其几何意义计算定积分160

题型二 计算对称区间上的定积分161

题型三 计算周期函数的定积分162

题型四 利用定积分的常用计算公式求其值163

题型五 计算被积函数含函数导数的积分164

题型六 比较和估计定积分的大小166

题型七 求解含积分值为常数的函数方程167

题型八 计算几类须分子区间积分的定积分168

题型九 计算含参数的定积分170

题型十 求需换元计算的定积分171

题型十一 求连续函数的定积分的极限173

1.4.4 求解与变限积分有关的问题175

题型一 求含变限积分的未定型极限175

题型二 求变限积分的导数178

题型三 求变限积分的定积分179

题型四 讨论变限积分函数的性态180

1.4.5 证明定积分等式184

题型一 证明定积分的变换公式184

题型二 证明定积分中值等式186

1.4.6 证明定积分不等式187

1.4.7 计算广义积分190

题型一 计算无穷区间上的广义积分190

题型二 判别？与？的敛散性(a>0)193

题型三 计算无界函数的广义积分194

题型四 判别？与？的敛散性196

1.4.8 定积分的应用197

题型一 已知曲线方程，求其所围平面图形的面积197

题型二 求旋转体体积200

题型三 已知曲线所围平面图形的面积(或其旋转体体积)反求该曲线203

题型四 求函数在区间上的平均值205

题型五 由变化率求原经济函数或其变动值205

题型六 由边际函数求(最优)总函数206

习题1.4208

1.5 多元函数微积分学214

1.5.1 二(多)元函数微分学中的几个概念214

题型一 判别二元函数的极限、连续、可偏导及可微之间的相互关系215

题型二 用定义判别二元函数在某点是否可微216

1.5.2 计算偏导数与全微分218

题型一 计算显函数的偏导数218

题型二 求带抽象函数记号的复合函数的偏导数219

题型三 计算由一个方程确定的隐函数的(偏)导数225

题型四 求由方程组确定的隐函数的(偏)导数227

题型五 变换含一阶、二阶偏导数的表示式228

题型六 求二元函数的全微分228

1.5.3 多元函数微分学的应用230

题型一 求二元函数的极值和最值230

题型二 求二(多)元函数的条件极值232

1.5.4 用直角坐标系计算二重积分235

题型一 根据积分区域选择积分次序计算二重积分235

题型二 根据被积函数选择积分次序计算二重积分236

题型三 证明二重(二次)积分等于单积分239

题型四 利用对称性简化计算二重积分240

题型五 分块计算二重积分243

题型六 计算无界区域上较简单的二重积分245

1.5.5 用极坐标系计算二重积分248

题型一 计算圆域x2+y2≤a(a>0)上的二重积分248

题型二 计算圆域x2+y2≤2ax(a>0)上的二重积分249

题型三 计算圆域x2+y2≤-2ax(a>0)上的二重积分249

题型四 计算圆域x2+y2≤2by(b>0)上的二重积分251

题型五 计算圆域x2+y2≤-2by(b>0)上的二重积分252

题型六 计算圆域x2+y2≤2ax+2by+c上的二重积分253

题型七 转换二次积分255

1.5.6 求含二重积分的极限256

习题1.5258

1.6 无穷级数262

1.6.1 判别常数项级数的敛散性262

题型一 判别正项级数的敛散性262

题型二 判别交错级数的敛散性265

题型三 判别任意项级数的敛散性267

1.6.2 求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域276

1.6.3 求级数的和282

题型一 求？P(n)xn的和函数，其中P(n)为n的多项式282

题型二 求？xn的和函数，其中Q(n)为n的多项式284

题型三 求其系数分母为连乘积的幂级数的和函数285

题型四 求数项级数的和288

题型五 求一般项为定积分的数项级数的和293

1.6.4 将简单函数间接展开成幂级数294

题型一 求反三角函数的幂级数展开式294

题型二 将对数函数展成幂级数295

题型三 将有理分式函数展成幂级数296

题型四 将三角函数展成幂级数296

习题1.6297

1.7 常微分方程与差分方程303

1.7.1 求解一阶线性微分方程303

题型一 求解变量可分离的微分方程303

题型二 求解齐次微分方程303

题型三 求解一阶线性微分方程305

题型四 求解以x为因变量，y为自变量的一阶线性微分方程307

1.7.2 求解二阶常系数线性微分方程307

题型一 求解二阶常系数齐次线性微分方程307

题型二 求解二阶常系数非齐次线性微分方程310

题型三 已知线性微分方程，求具有某性质的特解313

1.7.3 已知特解，反求其二阶线性常系数方程315

题型一 已知特解，反求其二阶齐次方程315

题型二 已知特解，反求其二阶非齐次方程316

1.7.4 微分方程的简单应用318

题型一 求解与几何量有关的问题318

题型二 求解未知函数所满足的方程319

题型三 求解简单的经济应用题323

1.7.5 一阶常系数线性差分方程325

题型一 求解一阶常系数线性齐次差分方程326

题型二 求解一阶非齐次差分方程326

题型三 应用差分方程求解简单的经济应用题330

习题1.7332

第2篇 线性代数336

2.1 计算行列式336

2.1.1 计算特殊行列式336

题型一 计算非零元素(主要)在一条或两条线上的行列式336

题型二 计算非零元素在三条线上的行列式339

题型三 计算行(列)和相等的行列式341

题型四 计算范德蒙行列式342

题型五 求代数余子式之和的值343

题型六 求行列式中含某因子的所有项346

2.1.2 计算抽象矩阵的行列式346

题型一 计算由行(列)向量表示的矩阵的行列式的值347

题型二 计算与伴随矩阵有关的矩阵行列式348

题型三 计算含零子块的四分块矩阵的行列式350

题型四 证明方阵的行列式等于零351

题型五 利用特征值计算矩阵行列式352

习题2.1352

2.2 矩阵356

2.2.1 证明矩阵的可逆性356

题型一 证明矩阵可逆356

题型二 已知cAB+aA+bB+dE=O，证明A+eE(或B+eE)可逆，其中a，b，c，d，e为常数358

题型三 证明和(差)矩阵可逆359

题型四 证明方阵为不可逆矩阵360

2.2.2 矩阵元素给定，求其逆矩阵的方法360

2.2.3 求解矩阵方程364

题型一 求解只含一个未知矩阵的矩阵方程365

题型二 求解含多个未知矩阵的矩阵方程366

题型三 求解AX=B或XA=B368

题型四 求与已知矩阵可交换的所有矩阵370

2.2.4 计算n阶矩阵的高次幂371

题型一 计算能分解为一列向量与一行向量相乘的矩阵的高次幂371

题型二 计算相似矩阵的高次幂372

题型三 计算能分解为两可交换矩阵之和的矩阵的高次幂374

题型四 计算分块对角矩阵的高次幂375

题型五 计算一般矩阵的高次幂376

2.2.5 求矩阵的秩377

题型一 求元素具体给定的矩阵的秩377

题型二 求抽象矩阵的秩378

题型三 已知矩阵的秩，求该矩阵中的参数382

2.2.6 分块矩阵的乘法运算383

2.2.7 初等变换及其应用386

题型一 利用矩阵的初等变换性质解题387

题型二 用初等矩阵表示相应的初等变换388

题型三 利用初等矩阵的性质计算矩阵389

2.2.8 几种特殊矩阵的运算389

习题2.2393

2.3 向量399

2.3.1 判断向量组线性相关、线性无关399

题型一 用线性相关性定义做选择题、填空题399

题型二 判定分量已知的向量组的线性相关性400

题型三 证明几类向量组的线性相关性402

2.3.2 判定向量能否由向量组线性表出409

题型一 判定分量已知的向量能否由向量组线性表出409

题型二 判断一抽象向量能否由向量组线性表出411

2.3.3 证明两向量组等价413

2.3.4 求向量组的秩与极大线性无关组417

题型一 求分量给出的向量组的秩及其极大线性无关组417

题型二 将向量用极大线性无关组线性表出419

题型三 求解(证明)与向量组的秩有关的问题419

2.3.5 将线性无关向量组正交规范化424

习题2.3425

2.4 线性方程组430

2.4.1 判定线性方程组解的情况430

题型一 判定齐次线性方程组解的情况430

题型二 判定非齐次线性方程组解的情况433

2.4.2 由其解反求方程组的参数或其系数矩阵436

题型一 已知AX=0的解的情况，反求A中参数436

题型二 已知AX=b的解的情况，反求方程组中参数437

题型三 已知其基础解系，求该方程的系数矩阵440

2.4.3 证明一组向量为基础解系441

2.4.4 基础解系和特解的简便求法443

2.4.5 求解含参数的线性方程组445

题型一 求解方程个数与未知数个数相等的含参数的线性方程组445

题型二 求解方程个数与未知数个数不等的含参数的线性方程组449

题型三 求解参数仅出现在常数项的线性方程组450

2.4.6 求抽象线性方程组的通解451

题型一 A没有具体给出，求AX=0的通解451

题型二 已知AX=b的特解，求其通解452

题型三 利用线性方程组的向量形式求(证明)其解455

2.4.7 求两线性方程组的非零公共解456

题型一 求两齐次线性方程组的非零公共解456

题型二 讨论两方程组同解的有关问题459

习题2.4461

2.5 矩阵的特征值、特征向量468

2.5.1 求矩阵的特征值、特征向量468

题型一 求元素已给出的矩阵的特征值、特征向量468

题型二 求(证明)抽象矩阵的特征值、特征向量471

2.5.2 由特征值和(或)特征向量反求矩阵或矩阵中的参数474

题型一 由特征值和(或)特征向量反求矩阵中的参数474

题型二 已知特征值、特征向量，反求其矩阵476

2.5.3 已知—矩阵的特征值、特征向量，求相关联矩阵的特征值、特征向量479

2.5.4 判别方阵是否可对角化481

题型一 判别元素给定的矩阵是否可对角化482

题型二 判别抽象矩阵是否可对角化483

2.5.5 相似矩阵性质的简单应用484

题型一 判定两矩阵是否相似484

题型二 计算相似矩阵的行列式487

题型三 求相似矩阵的秩488

题型四 计算相似矩阵的特征值488

题型五 确定相似矩阵的参数489

2.5.6 与两矩阵相似有关的计算490

题型一 n阶矩阵A可相似对角化，求A中参数及可逆阵P，使P-1AP=diag(λ1，λ2…，λn)(λi为A的特征值)490

题型二 求n阶实对称矩阵A中参数及正交矩阵Q，使Q-1AQ=QTAQ=diag(λ1，λ2，…，λn)(λi为A的特征值)492

题型三 已知矩阵A和可逆阵P，使P-1AP=B，求方阵B494

习题2.5495

2.6 二次型499

2.6.1 求二次型的矩阵及其秩499

题型一 用矩阵形式表示二次型499

题型二 求二次型的秩500

2.6.2 化标准形，由其标准形确定二次型501

题型一 化二次型为标准形501

题型二 由二次型的标准形确定该二次型506

2.6.3 正定二次型与正定矩阵507

题型一 判别具体给定的二次型或其矩阵的正定性508

题型二 判别或证明没有具体给定的二次型(实对称矩阵)的正定性509

题型三 确定参数值使二次型或其矩阵正定511

2.6.4 判别两实对称矩阵合同512

习题2.6515

第3篇 概率论与数理统计518

3.1 随机事件和概率518

3.1.1 随机事件间的关系及其运算518

题型一 描绘随机试验的样本空间518

题型二 用式子表示事件关系519

题型三 利用事件运算法则简化事件算式520

题型四 求满足一定条件的事件关系521

3.1.2 直接计算随机事件的概率522

题型一 计算古典型概率522

题型二 计算几何型概率524

3.1.3 间接计算随机事件的概率526

题型一 计算和、差、积事件的概率526

题型二 求与包含关系有关的事件的概率529

题型三 计算与互斥事件有关的事件的概率530

题型四 求与条件概率有关的事件的概率531

题型五 求与他事件有关的单个事件的概率532

题型六 判别或证明事件概率不等式533

3.1.4 几个计算概率公式的实际应用533

题型一 用加法公式求解实际应用题533

题型二 用条件概率与概率的乘法公式求解实际应用题535

题型三 用全概公式和逆概(贝叶斯)公式求解实际应用题536

题型四 利用抽签原理计算事件概率540

3.1.5 判别事件的独立性541

题型一 判别(证明)两事件相互独立541

题型二 判别(证明)n(n>2)个事件相互独立545

习题3.1547

3.2 一维随机变量及其分布552

3.2.1 分布列、概率密度及分布函数性质的应用552

题型一 判别分布列、概率密度及分布函数553

题型二 利用分布函数性质做选择题556

题型三 利用随机变量的分布，确定有关参数或所满足的条件557

题型四 求随机变量落在某点或某区间上的概率558

3.2.2 求分布列(概率分布)、概率密度及分布函数560

题型一 求概率分布(分布律)及其分布函数560

题型二 求连续型随机变量的分布函数563

题型三 求概率密度565

3.2.3 利用常用分布计算事件的概率565

题型一 利用二项分布计算伯努利概型中事件的概率565

题型二 利用泊松分布计算事件的概率569

题型三 利用均匀分布计算事件的概率570

题型四 利用指数分布计算事件的概率571

题型五 利用正态分布计算事件的概率573

题型六 利用超几何分布计算事件的概率577

3.2.4 求随机变量函数的分布577

题型一 已知离散型随机变量的分布，求其函数分布578

题型二 已知连续型随机变量的分布，求其具体函数的分布579

题型三 求连续型随机变量的抽象函数的分布583

习题3.2584

3.3 二维随机变量的联合概率分布589

3.3.1 求二维随机变量的分布589

题型一 求二维离散型随机变量的联合分布律589

题型二 求二维随机变量的边缘分布595

题型三 由联合分布、边缘分布求条件分布598

题型四 由条件分布反求联合分布、边缘分布601

题型五 已知分区域定义的联合密度，求其分布函数603

3.3.2 判别随机变量的独立性604

题型一 判别两离散型随机变量的独立性604

题型二 判别两连续型随机变量的独立性605

3.3.3 计算二维随机变量取值的概率613

题型一 求二维离散型随机变量取值的概率613

题型二 求二维连续型随机变量落入平面区域内的概率614

题型三 求与max(X，Y)或(和)min(X，Y)有关的概率617

题型四 求系数为随机变量的二次方程有根、无根的概率618

题型五 已知系数为随机变量的二次方程有根、无根的概率，反求该随机变量的分布620

3.3.4 求二维随机变量函数的分布620

题型一 已知(X，Y)的联合分布律，求Z=g(X，Y)的分布律620

题型二 求两独立随机变量的简单函数的分布622

题型三 已知X，Y的分布，求max(X，Y)与min(X，Y)的分布629

习题3.3634

3.4 随机变量的数字特征640

3.4.1 求一维随机变量的数字特征640

题型一 求随机变量的数学期望与方差640

题型二 求随机变量函数的数学期望647

题型三 已知随机变量的数字特征，求其分布中的参数651

题型四 计算随机变量的矩652

3.4.2 求二维随机变量的数字特征653

题型一 求(X，Y)的函数g(X，Y)的数学期望和方差653

题型二 计算协方差和相关系数656

3.4.3 计算两类分布的数字特征663

题型一 计算正态分布的数字特征663

题型二 计算Z=max(X，Y)或(和)W=min(X，Y)的数字特征663

3.4.4 讨论随机变量相关性与独立性的关系667

题型一 确定两随机变量相关与不相关667

题型二 讨论相关性与独立性的关系669

3.4.5 求解两类综合应用题型671

题型一 求解有关数字特征的实际应用题671

题型二 求解涉及概率论与其他数学分支间的知识点的综合应用题676

习题3.4679

3.5 大数定律和中心极限定理684

3.5.1 切比雪夫不等式的两点应用684

题型一 估计事件的概率684

题型二 求随机变量序列依概率的收敛值687

题型三 利用切比雪夫不等式确定有关参数688

3.5.2 大数定律成立的条件和结论689

3.5.3 棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理的应用693

题型一 近似计算有关事件的概率693

题型二 已知随机变量在某范围内取值的概率，估计该范围695

3.5.4 列维-林德伯格中心极限定理的应用697

题型一 应用列维-林德伯格中心极限定理的条件、结论解题697

题型二 近似计算n个随机变量之和取值的概率698

题型三 已知n个随机变量之和取值的概率，求个数n700

习题3.5701

3.6 数理统计初步704

3.6.1 求统计量的分布704

题型一 求与正态总体样本均值或(和)样本方差有关的统计量的分布704

题型二 利用统计三大分布求统计量的分布706

题型三 求统计量取值的概率及其数字特征711

题型四 求经验分布函数714

3.6.2 参数估计716

题型一 求总体分布中未知参数的矩估计量(值)716

题型二 求未知参数的极(最)大似然估计量(值)718

题型三 判断估计量的无偏性、有效性和一致性(相合性)721

题型四 求正态总体参数的置信区间及其有关参数727

3.6.3 假设检验735

题型一 计算简单情形下的两类错误概率736

题型二 对单个正态总体参数进行假设检验738

题型三 对两个正态总体参数进行假设检验740

题型四 用检验方法及其结论做填空题与选择题743

习题3.6745

习题答案与提示751