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第一章 Hamilton 系统1

1.1 Hamilton 方程1

1.1.1 从 Lagrange 方程到 Hamilton 方程1

1.1.2 陀螺与非陀螺 Hamilton 系统3

1.2 Poisson 括号12

1.3 Hamilton 相流14

1.4 正则变换17

1.5 Hamilton-Jacobi 方程20

1.6 可积 Hamilton 系统25

1.6.1 Liouville 定理25

1.6.2 作用-角变量26

1.6.3 环面上相流31

1.6.4 Hamilton 系统的积分方法34

1.6.5 可积 Hamilton 系统之例39

1.6.6 Hamilton 系统在平衡位置邻域的可积性42

1.7 不可积 Hamilton 系统44

1.8 部分可积 Hamilton 系统50

1.9 Hamilton 系统的遍历性51

参考文献53

第二章 扩散过程55

2.1 扩散过程及其概率描述55

2.1.1 Markov 过程55

2.1.2 扩散过程与 Fokker-Planck-Kolmogorov 方程57

2.1.3 后向 Kolmogorov 方程63

2.2 Wiener 过程67

2.2.1 独立增量过程67

2.2.2 Wiener 过程69

2.3 广义随机过程与 Gauss 白噪声75

2.4 It？随机微分方程77

2.4.1 It？随机积分77

2.4.2 It？随机微分与 It？微分公式83

2.4.3 It？随机微分方程86

2.5 It？随机微分方程之解89

2.5.1 强解与弱解89

2.5.2 稳态解90

2.5.3 精确解析解92

2.5.4 数值解98

2.6 It？随机微分方程与 Kolmogorov 方程102

2.7 Stratonovich 随机微分方程105

2.8 一维扩散过程的边界111

2.8.1 边界的分类111

2.8.2 奇异边界113

2.8.3 扩散过程的渐近性态与其边界类别之间的关系118

参考文献118

第三章 精确平稳解120

3.1 随机激励的耗散的 Hamilton 系统120

3.2 Gauss 白噪声激励下耗散的 Hamilton 系统122

3.2.1 FPK 方程122

3.2.2 求精确平稳解之方法126

3.3 精确平稳解：Gauss 白噪声激励下耗散的不可积 Hamilton 系统130

3.4 精确平稳解：Gauss 白噪声激励下耗散的可积 Hamilton 系统135

3.4.1 非内共振情形135

3.4.2 内共振情形141

3.5 精确平稳解：Gauss 白噪声激励下耗散的部分可积 Hamilton 系统145

3.5.1 非内共振情形145

3.5.2 内共振情形147

3.6 Gauss 白噪声激励下耗散的陀螺系统的精确平稳解150

3.7 推广155

3.7.1 更一般的系统155

3.7.2 Causs 白噪声与周期或概周期激励下耗散的 Hamilton 系统的稳态解157

参考文献164

第四章 等效非线性系统法166

4.1 引言166

4.2 Gauss 白噪声激励下耗散的不可积 Hamilton 系统169

4.3 Gauss 白噪声激励下耗散的可积 Hamilton 系统175

4.3.1 非内共振情形175

4.3.2 内共振情形182

4.4 Gauss 白噪声激励下耗散的部分可积 Hamilton 系统186

4.4.1 非内共振情形187

4.4.2 内共振情形195

参考文献201

第五章 随机平均法203

5.1 随机平均原理203

5.2 拟不可积 Hamilton 系统的随机平均206

5.3 拟可积 Hamilton 系统随机平均214

5.3.1 非内共振情形215

5.3.2 内共振情形221

5.4 拟部分可积 Hamilton 系统的随机平均227

5.4.1 非内共振情形228

5.4.2 内共振情形232

5.5 平稳宽带随机激励下拟可积 Hamilton 系统的随机平均238

5.5.1 单自由度系统240

5.5.2 多自由度系统252

5.6 谐和与白噪声激励下单自由度强非线性系统的随机平均261

5.7 有界噪声激励下单自由度强非线性系统的随机平均267

5.7.1 有界噪声267

5.7.2 随机平均方程268

参考文献270

第六章 随机稳定性与随机分岔273

6.1 随机稳定性与随机分岔概述273

6.1.1 随机稳定性273

6.1.2 随机分岔280

6.2 拟不可积 Hamilton 系统的渐近稳定性286

6.2.1 用平均 It?方程的 Lyapunov 指数判定概率为1渐近稳定性286

6.2.2 用平均扩散过程的边界类别判定概率渐近稳定性295

6.3 拟可积 Hamilton 系统概率为1渐近稳定性302

6.3.1 拟可积 Hamilton 系统的最大 Lyapunov 指数302

6.3.2 线性随机非陀螺系统的稳定性305

6.3.3 线性随机陀螺系统的稳定性308

6.3.4 非线性随机系统的稳定性313

6.4 拟部分可积 Hamilton 系统概率为1渐近稳定性315

6.5 求概率为1渐近稳定域的一种新方法318

6.6 拟不可积 Hamilton 系统的随机 Hopf 分岔322

6.7 Duffing 振子的随机跳跃及其分岔330

6.8 拟 Hamilton 系统的随机同(异)宿分岔与混沌335

6.8.1 单自由度系统336

6.8.2 两自由度系统339

参考文献341

第七章 首次穿越346

7.1 时齐扩散过程首次穿越问题的一般提法346

7.2 拟不可积 Hamilton 系统349

7.3 拟可积 Hamilton 系统356

7.4 拟部分可积 Hamilton 系统363

7.5 谐和与白噪声激励下的单自由度强非线性系统367

参考文献368

第八章 非线性随机最优控制370

8.1 随机最优控制概论370

8.1.1 引言370

8.1.2 随机最优控制问题的提法371

8.1.3 随机动态规划方法374

8.1.4 部分可观测系统的随机最优控制382

8.2 拟不可积 Hamilton 系统的随机最优控制388

8.2.1 一般方法388

8.2.2 Duffing 振子的无界遍历控制395

8.2.3 滞迟系统的无界遍历控制398

8.2.4 弹簧摆的有界遍历控制403

8.3 拟可积 Hamilton 系统的随机最优控制405

8.3.1 一般方法405

8.3.2 非线性阻尼耦合谐振子的无界遍历控制408

8.3.3 非线性阻尼耦合的 Duffing 振子的有界遍历控制411

8.4 应用 ER/MR 阻尼器的随机最优半主动控制412

8.5 部分可观测线性系统的非线性随机最优控制418

8.5.1 问题的提法419

8.5.2 等价的完全可观测随机最优控制问题422

8.5.3 随机平均423

8.5.4 动态规划方程与最优控制力424

8.5.5 最优控制结构的响应427

8.5.6 LQG 控制429

8.5.7 数例431

8.6 随机稳定化431

8.6.1 拟不可积 Hamilton 系统：Lyapunov 指数法432

8.6.2 拟不可积 Hamilton 系统：边界类别法438

8.6.3 拟可积 Hamilton 系统444

8.6.4 拟部分可积 Hamilton 系统451

8.7 首次穿越损坏的反馈最小化453

8.7.1 拟不可积 Hamilton 系统454

8.7.2 拟可积 Hamilton 系统463

8.7.3 拟部分可积 Hamilton 系统472

参考文献475

索引478