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第○章 绪论1

0.1泛函分析的研究对象和方法2

0.2有限维空间的坐标分解和算子分解3

0.3无穷维空间的类比和联想6

0.4无穷维空间的坐标分解7

0.5无穷维空间的线性算子与谱分解10

第一章 距离空间14

1.1距离空间的基本概念15

1.1.1距离空间的定义15

1.1.2距离空间的例16

1.1.3距离空间中的收敛19

1.2开集和连续映射24

1.2.1开集、邻域24

1.2.2连续映射26

1.3闭集 可分性 列紧性28

1.3.1距离空间中的闭集28

1.3.2闭集的结构29

1.3.3可分的距离空间30

1.3.4列紧的距离空间32

1.4完备的距离空间34

1.4.1Cauchy列34

1.4.2完备的距离空间35

1.4.3完备与不完备距离空间的例36

1.4.4距离空间的完备化39

1.5完备距离空间的性质和一些应用42

1.5.1闭球套定理43

1.5.2压缩映射原理44

1.5.3压缩映射原理的应用47

习题一51

第二章 赋范空间56

2.1赋范空间的基本概念57

2.1.1赋范空间和Banach空间的定义57

2.1.2范数的连续性58

2.1.3范数与距离的关系59

2.2完备的赋范空间60

2.2.1连续函数空间上定义的不同范数60

2.2.2赋范空间的完备化61

2.2.3Lp空间62

2.2.4L∞空间66

2.2.5lp空间67

2.3赋范空间的几何结构68

2.3.1凸集68

2.3.2子空间69

2.3.3Riesz引理71

2.4有限维的赋范空间72

2.4.1等价的范数72

2.4.2有限维空间74

2.4.3有限维赋范空间的几何特征75

2.5赋范空间的进一步性质76

2.5.1赋范空间中的级数76

2.5.2赋范空间的商空间78

2.5.3赋范空间的乘积空间80

习题二82

第三章 内积空间与Hilbert空间87

3.1内积空间的基本性质88

3.1.1内积空间的定义88

3.1.2由内积生成的范数89

3.1.3内积和相应范数的关系91

3.1.4完备的内积空间93

3.2正交与正交分解95

3.2.1正交的定义95

3.2.2正交补集95

3.2.3最佳逼近97

3.2.4Hilbert空间的正交分解99

3.3正交系、正交投影和Fourier级数100

3.3.1内积空间中的正交系101

3.3.2最佳逼近和正交投影102

3.3.3正交投影和Fourier级数103

3.3.4Bessel不等式和Fourier级数的收敛性105

3.4正交基和正交列的完备性107

3.4.1正交基107

3.4.2正交列的完备性109

3.4.3标准正交基的例111

3.5可分的Hilbert空间112

3.5.1线性无关组的正交化算法112

3.5.2可分的Hilbert空间与l2等距同构115

习题三116

第四章 有界线性算子120

4.1有界线性算子与有界线性泛函121

4.1.1有界线性算子与有界线性泛函的定义121

4.1.2有界线性算子组成的赋范空间123

4.1.3有界线性算子的例125

4.1.4有界线性算子范数的计算128

4.2有界线性算子空间的收敛与完备性130

4.2.1有界线性算子空间中的收敛性130

4.2.2有界线性算子空间的完备性132

4.3一致有界原则133

4.3.1Baire纲定理134

4.3.2一致有界原则135

4.3.3强收敛意义下的完备性138

4.3.4共鸣定理的应用139

4.4开映射定理与逆算子定理141

4.4.1逆算子141

4.4.2开映射定理143

4.4.3逆算子定理147

4.5闭算子与闭图像定理148

4.5.1闭算子的定义148

4.5.2闭算子的例150

4.5.3闭图像定理152

习题四153

第五章 共轭空间和共轭算子158

5.1Hahn-Banach定理159

5.1.1Hahn-Banach定理159

5.1.2Hahn-Banach定理的推论162

5.1.3线性泛函和闭集分离163

5.2共轭空间164

5.2.1共轭空间的概念165

5.2.2Lp[a，b]的共轭空间（1＜p＜∞）165

5.3Hilbert空间的共轭空间共轭算子169

5.3.1Riesz表示定理169

5.3.2Hilbert空间的共轭空间171

5.3.3Hilbert空间上的共轭算子172

5.4自共轭的有界线性算子174

5.4.1有界自共轭算子的定义和例175

5.4.2自共轭算子的性质176

5.4.3Cartesian分解178

5.5Banach空间上的共轭算子弱收敛179

5.5.1Banach空间上的共轭算子179

5.5.2自反性181

5.5.3弱收敛182

5.5.4一些具体空间中的弱收敛183

习题五185

第六章 线性算子的谱理论189

6.1谱集和正则点集190

6.1.1从线性代数和微分方程中的特征值问题到线性算子的谱理论190

6.1.2谱点和正则点的定义192

6.1.3特征值和特征元素193

6.1.4闭线性算子的正则点195

6.2有界线性算子的谱集195

6.2.1有界线性算子的谱集是有界集196

6.2.2有界线性算子的谱集是闭集197

6.2.3有界线性算子的谱集非空198

6.2.4有界线性算子的谱半径200

6.3有界自共轭线性算子的谱202

6.3.1有界自共轭线性算子剩余谱集是空集202

6.3.2有界自共轭线性算子谱集的性质204

6.3.3有界自共轭线性算子谱的分布205

6.4紧线性算子的谱206

6.4.1紧线性算子的定义和例206

6.4.2紧线性算子空间208

6.4.3紧线性算子的特征值210

6.4.4紧线性算子的剩余谱和连续谱212

6.4.5Fredholm抉择定理214

习题六218

附录224

附录Ⅰ 距离空间的紧性224

附录Ⅱ 线性空间224

附录Ⅲ Lp空间224

附录Ⅳ 有界变差函数空间V[a，b]224

参考文献225