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第1章 基础知识1

1.1 集合与映射1

1.1.1 集合1

1.1.2 映射3

1.2 一元函数9

1.2.1 一元函数的定义9

1.2.2 具有某些特性的函数10

1.2.3 反函数与复合函数12

1.2.4 初等函数14

1.3 实数系18

1.3.1 实数系的形成18

1.3.2 实数系的连续性初步19

第2章 数列极限22

2.1 数列极限的概念22

2.1.1 数列与数列极限22

2.1.2 数列极限的ε-N定义23

2.2 数列极限的性质28

2.2.1 数列极限的基本性质28

2.2.2 数列极限的四则运算性质30

2.2.3 无穷小数列与无穷大数列32

2.3 数列极限存在的判别法则40

2.3.1 单调有界原理40

2.3.2 三个重要常数π，e，γ41

2.3.3 子数列与致密性定理（抽子列定理）45

2.3.4 Cauchy收敛准则48

2.4 级数初步52

2.4.1 级数概念52

2.4.2 收敛级数的性质54

2.4.3 正项级数56

第3章 函数极限与连续60

3.1 函数的极限60

3.1.1 函数极限的定义60

3.1.2 函数极限的性质65

3.1.3 两个重要极限69

3.1.4 函数极限存在的充要条件71

3.2 无穷小量与无穷大量75

3.2.1 无穷小量及其阶的比较75

3.2.2 无穷大量及其阶的比较78

3.2.3 等价量及其代换79

3.3 函数的连续与间断83

3.3.1 函数连续的定义83

3.3.2 连续函数的局部性质85

3.3.3 间断点及其分类87

3.3.4 有限闭区间上连续函数的性质89

3.3.5 反函数的连续性定理91

3.3.6 初等函数的连续性93

3.3.7 一致连续性初步94

第4章 微分与导数98

4.1 微分和导数的定义98

4.1.1 微分概念的导出背景98

4.1.2 微分的定义100

4.1.3 导数的定义101

4.1.4 产生导数的实际背景102

4.1.5 单侧导数105

4.2 导数四则运算和反函数求导法则108

4.2.1 几个常见初等函数的导数108

4.2.2 导数的四则运算法则109

4.2.3 反函数的导数112

4.2.4 导数和微分在极限计算中的应用113

4.3 复合函数求导法则及其应用116

4.3.1 复合函数求导法则116

4.3.2 一阶微分的形式不变性119

4.3.3 隐函数的导数与微分120

4.3.4 参数形式的函数的求导公式122

4.4 高阶导数和高阶微分126

4.4.1 高阶导数的实际背景及定义126

4.4.2 高阶导数的计算127

4.4.3 高阶导数的运算法则129

4.4.4 复合函数、隐函数、反函数及由参数方程确定的函数的高阶导数131

4.4.5 高阶微分133

第5章 微分中值定理，Taylor公式及其应用136

5.1 Rolle定理，Lagrange中值定理及其应用136

5.1.1 极值与Fermat引理136

5.1.2 Rolle定理139

5.1.3 Lagrange中值定理140

5.1.4 Lagrange中值定理的应用142

5.2 Cauchy中值定理与L'Hospital法则152

5.2.1 Cauchy中值定理152

5.2.2 L'Hospital法则154

5.3 Taylor公式160

5.3.1 带Peano型余项的Taylor公式161

5.3.2 带Lagrange型余项的Taylor公式162

5.3.3 几个常见函数的Maclaurin公式164

5.3.4 带Peano型余项Taylor公式的唯一性和间接求法167

5.4 微分学应用举例172

5.4.1 极值的判别172

5.4.2 最大值与最小值173

5.4.3 曲线的渐近线175

5.4.4 函数作图177

5.4.5 近似计算178

5.4.6 Taylor公式的其他应用179

第6章 不定积分184

6.1 不定积分的概念与运算法则184

6.1.1 不定积分概念的提出184

6.1.2 基本积分表一186

6.1.3 不定积分的线性性质187

6.2 换元积分法和分部积分法188

6.2.1 换元积分法189

6.2.2 分部积分法193

6.2.3 基本积分表二197

6.3 有理函数的不定积分及应用199

6.3.1 有理函数的不定积分199

6.3.2 简单无理函数与三角函数有理式的不定积分202

参考文献207

附录 数学分析Ⅰ试卷208

索引213