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第1章 微分流形1

1.1.微分流形的定义及例子1

1.1.1 欧氏空间1

1.1.2 微分流形的定义3

1.1.3 微分流形的例子7

1.1.4 微分流形之间的映射12

习题1.116

1.2 切空间17

1.2.1 代数预备知识17

1.2.2 切空间20

1.2.3 余切空间25

习题1.227

1.3 切丛与向量场27

1.3.1 切丛与向量场28

1.3.2 李括号积30

1.3.3 切映射与余切映射32

习题1.335

1.4 子流形36

1.4.1 预备定理36

1.4.2 浸入与嵌入38

习题1.441

1.5 Frobenius定理42

1.5.1 积分曲线42

1.5.2 Frobenius定理44

1.5.3 积分子流形47

习题1.550

第2章 外微分形式52

2.1 张量与张量积52

2.1.1 多重线性函数与张量积52

2.1.2 张量55

2.1.3 对称与反对称张量57

习题2.160

2.2 外代数60

习题2.268

2.3 矢丛68

习题2.374

2.4 外微分形式75

2.4.1 外微分形式75

2.4.2 外微分76

2.4.3 Frobenius定理的另一描述82

习题2.484

2.5 单位分解与流形的定向86

2.5.1 单位分解86

2.5.2 流形的定向88

2.5.3 带边流形91

习题2.594

2.6 流形上的积分与Stokes定理94

2.6.1 外形式的积分95

2.6.2 Stokes定理97

2.6.3 de Rham同调群103

习题2.6106

第3章 联络108

3.1 联络和测地线108

3.1.1 联络的定义及性质108

3.1.2 平行移动和测地线113

3.1.3 法坐标与指数映射116

习题3.1119

3.2 挠率和曲率119

习题3.2125

3.3 张量丛上的联络125

3.3.1 矢丛上的联络125

3.3.2 流形的张量丛上的联络127

习题3.3130

第4章 Riemann流形131

4.1 Riemann几何基本定理131

4.1.1 Riemann度量131

4.1.2 Riemann联络135

习题4.1140

4.2 Riemann流形上的测地线141

4.2.1 法极坐标141

4.2.2 测地完备性144

习题4.2149

4.3 Riemann曲率149

4.3.1 Riemann曲率张量149

4.3.2 截面曲率154

习题4.3159

4.4 Jacobi场和共轭点160

习题4.4169

4.5 Riemann子流形171

4.5.1 子流形的基本公式171

4.5.2 活动标架法175

4.5.3 欧氏空间的子流形178

习题4.5184

4.6 Hodge理论184

4.6.1 星算子185

4.6.2 Laplace算子188

4.6.3 Hodge定理及其应用196

4.6.4 Poincaré对偶197

习题4.6200

4.7 Gauss-Bonnet定理201

4.7.1 Euler示性类201

4.7.2 向量场零点的指标203

4.7.3 Euler-Poincaré数205

4.7.4 Gauss-Bonnet定理206

习题4.7208

第5章 李群210

5.1 李群与李代数210

5.1.1 李群的定义与例子210

5.1.2 李代数215

5.1.3 流形上的单参数变换群223

习题5.1227

5.2.李群同态与指数映射228

5.2.1 李群同态228

5.2.2 指数映射233

习题5.2236

5.3 李群与李代数的伴随表示238

5.3.1 李群与李代数的伴随表示238

5.3.2 Killing-Cartan内积242

习题5.3245

5.4 齐性流形246

5.4.1 齐性流形246

5.4.2 齐性流形上的Riemann几何251

习题5.4257

5.5 Riemann对称空间258

5.5.1 对称空间的性质258

5.5.2 对称空间的曲率263

习题5.5268

参考文献270

第6章 纤维丛理论272

6.1 矢丛同态与矢丛上的联络272

6.1.1 矢丛的同态与同构272

6.1.2 诱导丛275

6.1.3 矢丛上的联络277

习题6.1282

6.2 纤维丛与主丛283

6.2.1 纤维丛283

6.2.2 主丛的定义与例286

6.2.3 相配矢丛290

习题6.2292

6.3 主丛上的联络292

6.3.1 矢丛的标架丛上的联络293

6.3.2 主丛上联络的定义与性质296

6.3.3 水平提升300

6.3.4 主丛上联络的曲率302

习题6.3306

6.4 Hopf：S7→S4上的联络307

习题6.4312

6.5 再谈矢丛上的联络313

习题6.5317

6.6 和乐群318

6.6.1 主丛上的和乐群318

6.6.2 流形上的和乐群321

习题6.6322

6.7 Grassmann流形323

习题6.7329

第7章 复流形330

7.1 复线性空间与复结构330

习题7.1336

7.2 复流形338

7.2.1 复流形338

7.2.2 复流形上的全纯矢丛345

习题7.2347

7.3 近复流形348

7.3.1 近复流形348

7.3.2 近复流形上的联络352

习题7.3353

7.4 Kaehler流形354

习题7.4361

7.5 Kaehler流形的例子363

习题7.5369

7.6 球面S2n上的复结构371

7.6.1 欧氏空间R2n上的复结构371

7.6.2 扭化空间？（S2n）376

7.6.3 球面S2n上的等距近复结构378

7.6.4 球面S2n上的近复结构381

习题7.6384

第8章 示性类385

8.1 Chern-Weil同态385

8.1.1 Ad（G）不变多项式385

8.1.2 主丛上情形388

8.1.3 矢丛上情形391

习题8.1392

8.2 Ad（G）不变多项式393

8.2.1 U（n）不变多项式394

8.2.2 O（n）与SO（n）不变多项式397

习题8.2400

8.3 陈类401

习题8.3411

8.4 Pontrjagin类与Euler类412

8.4.1 Pontrjagin类412

8.4.2 Euler类及其超渡式415

8.4.3 Gauss-Bonnet定理419

习题8.4422

8.5 陈类，Pontrjagin类与Euler类的关系423

习题8.5428

8.6 Grassmann流形上的矢丛与示性类429

8.6.1 Grassmann流形上的示性类429

8.6.2 Grassmann流形的子流形435

8.6.3 Grassmann流形的整同调群438

习题8.6444

8.7 Milnor的7维怪球445

8.7.1 球面S4上的矢丛与示性类445

8.7.2 Milnor怪球453

习题8.7456

第9章 Clifford代数与旋量群458

9.1 Clifford代数与旋量群458

9.1.1 Clifford代数的定义458

9.1.2 旋量群464

9.1.3 C？n上的欧氏内积470

习题9.1471

9.2 复Clifford代数472

习题9.2480

9.3 实Clifford代数481

9.3.1 C？2n的情形484

9.3.2 C？2n＋1的情形489

9.3.3 Clifford代数的周期性493

习题9.3498

9.4 C？8及其应用500

9.4.1 Clifford代数C？8500

9.4.2 Triality变换505

9.4.3 Grassmann流形的几何510

习题9.4518

9.5 球面上的向量场519

习题9.5522

9.6 自旋主丛与旋量丛523

9.6.1 流形上的自旋结构523

9.6.2 旋量丛上的联络527

习题9.6531

9.7 校准532

9.7.1 校准的定义与性质532

9.7.2 校准和Clifford代数535

9.7.3 校准的微分方程543

习题9.7547

第10章 Atiyah-Singer指标定理549

10.1 椭圆微分算子549

10.1.1 矢丛上的微分算子与主象征549

10.1.2 经典的椭圆微分算子554

习题10.1561

10.2 de Rham算子d＋δ与Atiyah-Singer算子的关系561

10.2.1 算子d＋δ：A（M）→A（M）562

10.2.2 Dirac算子564

习题10.2571

10.3 Dolbeault算子与Atiyah-Singer算子的关系573

10.3.1 代数预备知识573

10.3.2 Dolbeault算子与Atiyah-Singer算子的关系577

习题10.3582

10.4 Atiyah-Singer指标定理582

习题10.4590

10.5 Bochner技巧591

10.5.1 Weitzenbock公式591

10.5.2 Weitzenbock公式的运用593

习题10.5598

10.6 Yang-Mills方程与Seiberg-Witten方程598

10.6.1 Yang-Mills方程598

10.6.2 Seiberg-Witten方程605

习题10.6609

参考文献610

名词索引612