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第0章 线性方程组的研究1

第1章 行列式6

1.1二阶与三阶行列式6

1.1.1二阶行列式6

1.1.2三阶行列式8

1.2 n阶行列式11

1.2.1排列及其逆序数11

1.2.2 n阶行列式的定义13

1.3行列式的性质16

1.4克拉默法则24

1.5应用举例26

1.5.1用二阶行列式求平行四边形的面积26

1.5.2用三阶行列式求平行六面体的体积29

习题一31

第2章 矩阵及其运算35

2.1矩阵的定义35

2.1.1引例35

2.1.2定义37

2.2矩阵的运算40

2.2.1矩阵的线性运算40

2.2.2矩阵的乘法运算41

2.2.3转置45

2.2.4方阵的行列式46

2.3逆矩阵48

2.3.1引例48

2.3.2定义49

2.3.3方阵可逆的条件49

2.4分块矩阵53

2.4.1定义53

2.4.2分块矩阵的运算54

2.4.3常用的三种分块法55

2.5应用举例58

2.5.1平面图形变换58

2.5.2矩阵在计算机图形学中的应用—齐次坐标61

2.5.3希尔密码63

习题二66

第3章 线性方程组71

3.1消元法71

3.1.1引例71

3.1.2消元法的一般形式73

3.2矩阵的初等变换77

3.2.1定义77

3.2.2初等变换的性质79

3.3矩阵的秩80

3.3.1引例80

3.3.2秩的定义82

3.3.3秩的性质83

3.4初等矩阵85

3.4.1定义85

3.4.2初等矩阵的性质86

3.4.3求逆矩阵的初等行变换法88

3.4.4初等矩阵决定的线性变换89

3.5线性方程组的解91

3.5.1线性方程组有解的条件91

3.5.2线性方程组的解法93

3.6应用举例97

3.6.1剑桥减肥食谱问题97

3.6.2电路网络问题98

3.6.3配平化学方程式问题99

3.6.4网络流问题99

习题三101

第4章 向量组的线性相关性107

4.1 n维向量及其运算107

4.1.1向量的定义107

4.1.2向量的运算109

4.2向量组的线性相关性110

4.2.1向量组及其线性组合111

4.2.2向量组的线性相关性115

4.3向量组的秩121

4.3.1定义121

4.3.2向量组的秩与矩阵的秩的关系122

4.3.3向量组的极大无关组的求法123

4.4线性方程组解的结构127

4.4.1齐次线性方程组解的结构127

4.4.2非齐次线性方程组解的结构132

4.5向量空间135

4.5.1向量空间的定义135

4.5.2向量空间的基和维数137

4.5.3向量在基下的坐标138

4.6应用举例141

4.6.1在差分方程中的应用141

4.6.2马尔可夫链146

习题四148

第5章 特征值、特征向量及二次型154

5.1向量的内积、长度及正交性154

5.1.1内积的定义与性质154

5.1.2施密特（SChmidt）正交化过程157

5.1.3正交矩阵159

5.2特征值与特征向量161

5.2.1定义161

5.2.2特征值与特征向量的计算162

5.2.3特征值与特征向量的性质164

5.3相似矩阵166

5.3.1相似矩阵的概念与性质166

5.3.2矩阵可对角化的条件168

5.4实对称矩阵的对角化169

5.4.1实对称矩阵的特征值与特征向量170

5.4.2实对称矩阵对角化的步骤171

5.5复特征值172

5.6二次型及其标准形175

5.6.1二次型的概念176

5.6.2矩阵的合同关系178

5.6.3化二次型为标准形179

5.7正定二次型180

5.8应用举例182

5.8.1二次曲线的研究182

5.8.2条件优化185

5.8.3离散动力系统188

习题五192

习题答案198

附录 线性代数智能教学平台简介211