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第一章 函数与极限1

第一节 变量与函数1

1.1.1 常量与变量1

1.1.2 连续变量的变化范围的表示方法2

1.1.3 绝对值与邻域3

1.1.4 函数概念6

1.1.5 函数的几种特性8

1.1.6 反函数12

第二节 初等函数14

1.2.1 基本初等函数及其图形14

1.2.2 复合函数与初等函数17

1.2.3 双曲函数与反双曲函数18

第三节 数列的极限22

1.3.1 极限方法22

1.3.2 数列的极限23

1.3.3 “数列{xa}的极限为a”的几何解释26

1.3.4 数列极限的性质27

第四节 函数的极限29

1.4.1 当x→x0,x→x0-,x→x0+时函数的极限29

1.4.2 当x→∞,x→+∞,x→-∞时的极限31

第五节 无穷小与无穷大34

1.5.1 无穷小35

1.5.2 无穷小的性质35

1.5.3 无穷大37

第六节 极限的运算39

第七节 极限存在准则 两个重要极限42

1.7.1 夹逼定理43

1.7.2 单调有界准则46

第八节 无穷小的比较49

1.9.1 函数的连续性概念51

第九节 函数的连续性与间断点51

1.9.2 函数的间断点55

第十节 连续函数的运算与初等函数的连续性58

1.10.1 连续函数的四则运算58

1.10.2 反函数与复合函数的连续性58

1.10.3 初等函数的连续性59

第十一节 闭区间上连续函数的性质60

习题一63

第二章 导数与微分71

第一节 导数的概念71

2.1.1 三个实际问题71

2.1.2 导数的定义73

2.1.3 求导举例76

2.1.4 函数的可导性与连续性的关系79

2.2.1 求导的四则运算法则80

第二节 求导数的运算法则80

2.2.2 反函数的求导83

2.2.3 复合函数求导法85

2.2.4 导数公式和导数运算法则汇集89

第三节 高阶导数90

第四节 若干特殊的求导方法94

2.4.1 隐函数求导法94

2.4.2 由参数方程确定的函数的求导95

2.4.3 对数求导法97

第五节 微分98

2.5.1 微分的概念98

2.5.2 微分与导数的关系99

2.5.3 微分的几何意义100

2.5.4 微分公式及微分运算法则101

习题二103

第一节 中值定理112

3.1.1 罗尔(Rolle)定理112

第三章 中值定理与导数的应用112

3.1.2 拉格朗日(Lagrange)中值定理115

3.1.3 柯西(Cauchy)中值定理118

3.1.4 泰勒(Taylor)中值定理119

第二节 洛必达(L'Hospital)法则123

3.2.1 x→x0时的？型未定式的洛必达法则124

3.2.2 其他型的未定式128

第三节 函数的单调性130

第四节 函数的极值及其求法133

3.4.1 极值的定义133

3.4.2 函数取极值的必要条件134

3.4.3 函数取极值的充分条件135

第五节 最大值、最小值问题139

第六节 曲线的凹凸性与拐点141

3.6.1 凹凸的定义142

3.6.2 曲线的凹凸的判定定理143

3.6.3 拐点及其求法144

第七节 曲线的渐近线 函数图形的描绘146

3.7.1 曲线的渐近线146

3.7.2 函数图形的描绘148

第八节 弧微分与曲率151

3.8.1 弧微分151

3.8.2 曲率153

习题三155

第四章 不定积分164

第一节 不定积分的概念与性质164

4.1.1 原函数与不定积分的概念164

4.1.2 基本积分表167

4.1.3 不定积分的性质168

第二节 换元积分法171

4.2.1 第一类换元法171

4.2.2 第二类换元法176

第三节 分部积分法182

第四节 几类特殊函数的积分186

4.4.1 有理函数的积分187

4.4.2 三角函数有理式的积分190

4.4.3 简单无理函数的积分193

习题四195

第五章 定积分及其应用199

第一节 定积分的基本概念与性质199

5.1.1 几个例子199

5.1.2 定积分的定义202

5.1.3 定积分的性质204

第二节 牛顿—莱布尼兹公式208

5.2.1 积分上限的函数209

5.2.2 牛顿—莱布尼兹公式211

第三节 定积分的换元积分法213

第四节 定积分的分部积分法218

第五节 广义积分221

5.5.1 积分区间为无穷区间的广义积分221

5.5.2 被积函数有无穷间断点的广义积分224

第六节 定积分在几何上的应用226

5.6.1 定积分的元素法226

5.6.2 平面图形的面积227

5.6.3 旋转体的体积230

5.6.4 平面曲线的弧长232

第七节 定积分在物理上的应用235

5.7.1 功235

5.7.2 水压力237

5.7.3 函数的平均值238

习题五239

附录 几种常见曲线251

习题解答256