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第8章 向量代数与空间解析几何1

8.1 向量及其线性运算1

8.1.1 向量的概念1

8.1.2 向量的线性运算2

8.1.3 空间直角坐标系5

8.1.4 向量的坐标及向量的运算6

8.1.5 向量的模、方向余弦、投影9

习题8.113

8.2 数量积 向量积·混合积14

8.2.1 两向量的数量积14

8.2.2 两向量的向量积16

8.2.3 向量的混合积18

习题8.220

8.3 平面及其方程21

8.3.1 平面的点法式方程21

8.3.2 平面的一般式方程22

8.3.3 平面的截距式方程24

8.3.4 两平面的夹角24

习题8.326

8.4 空间直线及其方程27

8.4.1 空间直线的一般式方程27

8.4.2 空间直线的对称式方程和参数方程27

8.4.3 两直线的夹角29

8.4.4 直线与平面的夹角29

习题8.432

8.5 曲面及其方程33

8.5.1 曲面方程的概念33

8.5.2 旋转曲面35

8.5.3 柱面37

习题8.538

8.6 空间曲线及其方程39

8.6.1 空间曲线的一般式方程39

8.6.2 空间曲线的参数方程40

8.6.3 空间曲线在坐标面上的投影41

习题8.643

8.7 二次曲面43

8.7.1 椭球面44

8.7.2 双曲面45

8.7.3 椭圆锥面46

8.7.4 抛物面47

习题8.748

总习题849

阅读材料：非欧几何——几何学的革命51

第9章 多元函数微分法及其应用53

9.1 多元函数的基本概念53

9.1.1 平面点集 ·n维空间53

9.1.2 多元函数的概念56

9.1.3 多元函数的极限57

9.1.4 多元函数的连续性59

习题9.161

9.2 偏导数62

9.2.1 偏导数及其计算法62

9.2.2 高阶偏导数65

习题9.267

9.3 全微分68

9.3.1 全微分的定义69

9.3.2 全微分在近似计算中的应用72

习题9.373

9.4 多元复合函数的求导法则74

9.4.1 多元复合函数的求导法则74

9.4.2 全微分的形式不变性79

习题9.481

9.5 隐函数的求导公式81

9.5.1 由一个方程所确定的隐函数的求导公式82

9.5.2 由方程组所确定的隐函数的求导公式85

习题9.589

9.6 微分法在几何上的应用90

9.6.1 空间曲线的切线与法平面90

9.6.2 曲面的切平面与法线93

习题9.697

9.7 方向导数与梯度98

9.7.1 方向导数98

9.7.2 梯度101

9.7.3 向量场简介105

习题9.7105

9.8 多元函数的极值及其求法106

9.8.1 多元函数的极值106

9.8.2 函数的最大值和最小值109

9.8.3 条件极值 拉格朗日乘数法110

9.8.4 最小二乘法114

习题9.8116

9.9 二元函数的泰勒公式和极值充分条件的证明117

9.9.1 二元函数的泰勒公式117

9.9.2 极值充分条件的证明121

习题9.9122

总习题9122

阅读材料：李善兰——中国微积分的先驱124

第10章 重积分127

10.1 二重积分的概念和性质127

10.1.1 实例分析127

10.1.2 二重积分的概念129

10.1.3 二重积分的性质130

习题10.1132

10.2 二重积分的计算法133

10.2.1 利用直角坐标计算二重积分133

10.2.2 利用极坐标计算二重积分140

10.2.3 二重积分的换元法144

习题10.2147

10.3 三重积分150

10.3.1 三重积分的概念150

10.3.2 三重积分的计算151

习题10.3159

10.4 重积分的应用161

10.4.1 立体的体积161

10.4.2 曲面的面积163

10.4.3 质量165

10.4.4 质心165

10.4.5 转动惯量168

10.4.6 引力169

习题10.4171

总习题10172

阅读材料：MATLAB在微积分中的应用175

第11章 曲线积分与曲面积分180

11.1 对弧长的曲线积分180

11.1.1 曲线形构件的质量180

11.1.2 对弧长的曲线积分的概念与性质181

11.1.3 对弧长的曲线积分的计算183

习题11.1186

11.2 对坐标的曲线积分187

11.2.1 变力沿曲线所做的功187

11.2.2 对坐标的曲线积分的概念与性质188

11.2.3 对坐标的曲线积分的计算190

11.2.4 两类曲线积分之间的联系194

习题11.2195

11.3 格林公式及其应用197

11.3.1 格林公式197

11.3.2 平面上曲线积分与路径无关的条件201

习题11.3205

11.4 对面积的曲面积分207

11.4.1 曲面形构件的质量207

11.4.2 对面积的曲面积分的概念与性质207

11.4.3 对面积的曲面积分的计算208

习题11.4211

11.5 对坐标的曲面积分212

11.5.1 有向曲面212

11.5.2 流向曲面一侧的流量212

11.5.3 对坐标的曲面积分的概念与性质213

11.5.4 两类曲面积分之间的联系215

11.5.5 对坐标曲面积分的计算216

习题11.5220

11.6 高斯公式 通量与散度221

11.6.1 高斯公式221

11.6.2 通量与散度225

11.6.3 曲面积分与曲面无关的条件227

习题11.6228

11.7 斯托克斯公式 环流量与旋度229

11.7.1 斯托克斯公式229

11.7.2 环流量与旋度233

11.7.3 空间曲线积分与路径无关的条件235

习题11.7236

总习题11236

阅读材料：奇妙的曲面——莫比乌斯带与克莱因瓶239

第12章 微分方程242

12.1 微分方程的基本概念242

12.1.1 两个实例242

12.1.2 微分方程的基本概念243

习题12.1246

12.2 一阶微分方程246

12.2.1 可分离变量的微分方程及齐次方程246

12.2.2 一阶线性微分方程及伯努利方程252

12.2.3 全微分方程258

习题12.2260

12.3 可降阶的高阶微分方程262

12.3.1 y（n）＝f（x）型的微分方程262

12.3.2 y″＝f（x,y′）型的微分方程263

12.3.3 y″＝f（y，y′）型的微分方程264

习题12.3266

12.4 高阶线性微分方程266

12.4.1 高阶线性微分方程及其解的结构266

12.4.2 二阶常系数线性齐次微分方程270

12.4.3 二阶常系数线性非齐次微分方程273

习题12.4280

12.5 欧拉方程281

习题12.5282

12.6 常系数线性微分方程组的解法283

习题12.6284

12.7 微分方程的应用285

习题12.7289

总习题12290

阅读材料：从有序走向混沌——微分方程发展简介292

部分习题参考答案与提示296

参考文献320