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第一章 微商1

1.1微积分研究什么1

1.1.1微积分与初等数学研究对象的比较1

1.1.2微积分研究的两类典型问题2

1.2预备知识3

1.2.1逻辑符号3

1.2.2邻域3

1.2.3不等式3

1.2.4数列极限5

习题1-212

1.3函数13

1.3.1函数的概念13

1.3.2函数的运算15

1.3.3函数的改变量与差商17

1.3.4复合运算@复合函数18

1.3.5函数的几种特性20

1.3.6函数模型22

习题1-326

1.4函数的极限29

1.4.1 x→x0时函数f（x）的极限29

1.4.2函数极限的运算与性质33

1.4.3第一个重要极限36

习题1-437

1.5函数的连续性39

1.5.1连续与间断的直观描述39

1.5.2连续与间断的定义40

1.5.3初等函数的连续性45

1.5.4闭区间上连续函数的性质47

习题1-548

1.6函数在无穷远处的极限49

1.6.1 x→∞时函数f（x）的极限49

1.6.2第二个重要极限53

习题1-656

1.7无穷小量及其比较57

1.7.1无穷小量57

1.7.2无穷小量的比较59

习题1-762

1.8微商63

1.8.1微积分的典型问题之一——切线问题63

1.8.2微商概念64

1.8.3可微性与连续性71

1.8.4数学怪物——科赫（Koch）雪花曲线·分形几何学简介73

习题1-874

第一章的重要概念与公式76

总练习题一77

第二章 微分法81

2.1微商的运算法则81

2.1.1基本微商公式81

2.1.2函数和、差、积、商的微商法则81

2.1.3反函数微商法则85

2.1.4复合函数微商法则87

2.1.5隐微分法89

习题2-191

2.2高阶微商93

2.2.1高阶微商93

2.2.2关于函数乘积微商的莱布尼茨（Leibniz）公式96

习题2-297

2.3微分及其应用99

2.3.1微分及其运算99

2.3.2微分的应用103

习题2-3110

第二章的重要概念与公式112

总练习题二113

第三章 微商的应用116

3.1微分中值定理116

3.1.1函数的极值与费马（Fermat）引理116

3.1.2微分中值定理117

3.1.3微分中值定理的证明121

习题3-1122

3.2用微商研究函数123

3.2.1函数单调性的判别法123

3.2.2函数极值的检验法126

3.2.3曲线的凸性与拐点129

3.2.4函数作图131

习题3-2134

3.3最优化问题136

3.3.1最大值、最小值136

3.3.2最优化问题137

习题3-3142

3.4相对变化率与相关变化率143

3.4.1边际与边际分析143

3.4.2弹性与弹性分析146

3.4.3相关变化率150

习题3-4151

3.5洛必达（L’Hospital）法则153

3.5.1洛必达法则153

3.5.2洛必达法则的证明157

3.5.3其他类型不定式的极限158

习题3-5161

第三章的重要概念与公式162

总练习题三163

第四章 积分及其应用167

4.1定积分167

4.1.1微积分的典型问题之二——面积问题167

4.1.2定积分概念168

4.1.3可积的充分条件170

习题4-1171

4.2定积分与原函数的关系171

4.2.1直观背景171

4.2.2原函数与不定积分173

4.2.3微积分基本定理177

习题4-2180

4.3定积分的性质182

习题4-3187

4.4积分法188

4.4.1直接积分法188

4.4.2换元积分法190

4.4.3分部积分法204

4.4.4积分表的使用209

4.4.5数值积分法209

习题4-4213

4.5定积分的应用217

4.5.1反常积分217

4.5.2面积、体积、弧长的计算223

4.5.3定积分在经济管理与社会科学中的应用231

习题4-5234

第四章的重要概念与公式236

总练习题四237

第五章 微分方程与差分方程244

5.1微分方程基础244

5.1.1实际背景244

5.1.2基本概念247

习题5-1249

5.2一阶微分方程249

5.2.1可分离变量的微分方程249

5.2.2齐次（微分）方程251

5.2.3一阶线性微分方程253

5.2.4微分方程的应用（连续模型）258

习题5-2261

5.3二阶微分方程264

5.3.1可降阶的二阶微分方程264

5.3.2二阶常系数线性微分方程265

5.3.3微分方程组272

习题5-3277

5.4差分方程278

5.4.1差分方程基础278

5.4.2一阶常系数线性差分方程282

5.4.3二阶常系数线性差分方程284

5.4.4差分方程的应用（离散模型）286

习题5-4294

第五章的重要概念与公式295

总练习题五296

第六章 多元函数微分学300

6.1曲面与空间曲线300

6.1.1空间直角坐标系300

6.1.2曲面304

6.1.3空间曲线306

6.1.4向量及其运算309

习题6-1314

6.2多元函数315

6.2.1多元函数概念315

6.2.2等高线·等产量线317

6.2.3二元函数的极限与连续317

习题6-2318

6.3偏微商320

6.3.1偏微商与全微分320

6.3.2偏微商的应用323

6.3.3高阶偏微商326

习题6-3327

6.4多元复合函数微分法328

6.4.1多元复合函数微分法328

6.4.2隐微分法332

习题6-4335

6.5最优化问题337

6.5.1二元函数的极值337

6.5.2无约束最优化问题339

6.5.3约束最优化问题340

6.5.4最小二乘法与数学建模345

6.5.5线性规划351

习题6-5353

第六章的重要概念与公式356

总练习题六357

第七章 二重积分360

7.1二重积分概念360

7.1.1实际背景360

7.1.2二重积分定义361

7.1.3二重积分的性质362

习题7-1364

7.2二重积分的计算365

7.2.1在直角坐标下计算二重积分365

7.2.2在极坐标下计算二重积分370

习题7-2373

7.3二重积分的应用375

7.3.1用二重积分计算概率积分∫+∞/0 e-x2dx375

7.3.2用二重积分计算体积与面积376

7.3.3二重积分在社会科学中的应用379

习题7-3380

第七章的重要概念与公式381

总练习题七381

第八章 无穷级数384

8.1数项级数384

8.1.1基本概念384

8.1.2基本性质·级数收敛的必要条件390

8.1.3正项级数的收敛检验法391

8.1.4交错级数·莱布尼茨检验法396

8.1.5绝对收敛·条件收敛398

习题8-1399

8.2幂级数401

8.2.1幂级数概念与性质401

8.2.2幂级数的收敛半径402

8.2.3幂级数的运算405

习题8-2408

8.3泰勒级数409

8.3.1问题的提出409

8.3.2泰勒公式412

8.3.3函数的泰勒展开式414

8.3.4泰勒级数的应用418

习题8-3421

第八章的重要概念与公式423

总练习题八424

附录一MATLAB基础知识简介428

1 MATLAB快速入门428

2 变量与数据429

3 MATLAB库函数431

4 逻辑运算与控制语句433

5 M文件与M函数436

附录二 数学实验438

实验一 方程根的近似计算438

实验二 一元函数图形的绘制440

实验三 数值积分443

实验四 微分方程的数值解法445

实验五 空间图形的绘制448

实验六 利用泰勒级数作近似计算450

实验七 综合设计实验——绘制特殊曲线452

附录三 常用几何曲线456

附录四 积分表459

部分习题答案468

名词术语索引497

参考文献502