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第1章 函数与极限1

1.1 函数1

1.1.1 集合1

1.1.2 区间和邻域2

1.1.3 函数的概念3

1.1.4 函数的几种性质6

1.1.5 反函数与复合函数9

1.1.6 初等函数11

习题1-114

1.2 数列的极限16

1.2.1 数列极限的定义16

1.2.2 收敛数列的性质19

习题1-221

1.3 函数的极限22

1.3.1 函数极限的定义22

1.3.2 函数极限的性质29

习题1-330

1.4 无穷小与无穷大31

1.4.1 无穷小31

1.4.2 无穷大32

习题1-433

1.5 极限运算法则33

1.5.1 无穷小量的运算法则33

1.5.2 函数极限的四则运算法则34

1.5.3 复合函数的极限运算法则39

习题1-540

1.6 极限存在准则 两个重要极限公式41

习题1-646

1.7 无穷小的比较47

习题1-750

1.8 函数的连续性与间断点50

1.8.1 函数的连续性50

1.8.2 函数的间断点53

习题1-855

1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性56

1.9.1 连续函数的四则运算的连续性56

1.9.2 反函数与复合函数的连续性56

1.9.3 初等函数的连续性57

习题1-959

1.10 闭区间上连续函数的性质60

习题1-1063

总习题一（A）64

总习题一（B）66

第2章 导数与微分69

2.1 导数概念69

2.1.1 引例69

2.1.2 导数的定义71

2.1.3 导数的几何意义75

2.1.4 可导与连续的关系78

习题2-179

2.2 函数的求导法则与基本导数公式80

2.2.1 四则运算的求导法则80

2.2.2 反函数的求导法则82

2.2.3 复合函数的求导法则84

2.2.4 基本求导法则与导数公式87

习题2-289

2.3 高阶导数91

2.3.1 高阶导数的定义91

2.3.2 一些常见函数的n阶导数公式92

2.3.3 高阶导数的运算法则94

习题2-395

2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数96

2.4.1 隐函数的导数96

2.4.2 由参数方程所确定的函数的导数99

2.4.3 相关变化率101

习题2-4103

2.5 函数的微分104

2.5.1 微分的定义104

2.5.2 基本微分公式与微分运算法则106

2.5.3 微分的几何意义108

2.5.4 微分在近似计算中的应用109

习题2-5110

总习题二（A）111

总习题二（B）112

第3章 微分中值定理与导数的应用115

3.1 微分中值定理115

3.1.1 函数的极值115

3.1.2 微分中值定理117

习题3-1123

3.2 泰勒公式124

习题3-2130

3.3 洛必达法则131

3.3.1 0/0型未定式的洛必达法则131

3.3.2 ∞/∞型未定式的洛必达法则133

3.3.3 其他类型的未定式134

习题3-3136

3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性137

3.4.1 函数单调性的判定法137

3.4.2 曲线的凹凸性及拐点140

习题3-4144

3.5 函数的极值与最值145

3.5.1 函数的极值145

3.5.2 最值问题148

习题3-5150

3.6 函数图形的描绘151

3.6.1 曲线的渐近线151

3.6.2 函数图形的描绘154

习题3-6156

3.7 曲率156

3.7.1 弧微分156

3.7.2 曲率及其计算公式157

3.7.3 曲率圆、曲率中心与曲率半径161

3.7.4 渐屈线与渐伸线163

习题3-7165

总习题三（A）165

总习题三（B）167

第4章 不定积分170

4.1 不定积分的概念与性质170

4.1.1 原函数与不定积分的概念170

4.1.2 基本积分表173

4.1.3 不定积分的性质173

习题4-1176

4.2 换元积分法177

4.2.1 第一类换元积分法177

4.2.2 第二类换元积分法183

习题4-2188

4.3 分部积分法189

习题4-3193

4.4 几种特殊类型函数的积分194

4.4.1 有理函数的不定积分194

4.4.2 三角函数有理式的积分198

4.4.3 简单无理函数的积分199

习题4-4201

4.5 积分表的使用202

习题4-5203

总习题四（A）203

总习题四（B）206

第5章 定积分及其应用209

5.1 定积分的概念与性质209

5.1.1 引例209

5.1.2 定积分的定义211

5.1.3 定积分的性质215

习题5-1218

5.2 微积分学基本公式219

5.2.1 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系219

5.2.2 积分上限的函数及其导数220

5.2.3 牛顿-莱布尼茨公式222

习题5-2225

5.3 定积分的换元法和分部积分法226

5.3.1 定积分的换元法226

5.3.2 定积分的分部积分法230

习题5-3233

5.4 广义积分235

5.4.1 无穷限的广义积分235

5.4.2 无界函数的广义积分237

习题5-4240

5.5 定积分的元素法及其应用240

5.5.1 定积分的元素法240

5.5.2 定积分在几何学上的应用242

5.5.3 定积分在物理学上的应用249

习题5-5254

总习题五（A）255

总习题五（B）257

第6章 空间解析几何初步261

6.1 空间直角坐标系261

6.1.1 空间中的点的直角坐标261

6.1.2 空间两点间的距离262

习题6-1264

6.2 向量代数264

6.2.1 向量的概念264

6.2.2 向量的运算265

6.2.3 向量的坐标268

6.2.4 向量在轴上的投影270

6.2.5 两个向量的数量积和向量的方向余弦271

6.2.6 两个向量的向量积275

6.2.7 向量的混合积278

习题6-2280

6.3 空间的平面与直线281

6.3.1 平面及其方程281

6.3.2 空间直线及其方程284

6.3.3 点、直线、平面之间的位置关系287

6.3.4 平面束291

习题6-3293

6.4 空间的曲面与曲线295

6.4.1 曲面方程的概念295

6.4.2 一些常见的曲面296

6.4.3 二次曲面299

6.4.4 空间曲线的方程303

6.4.5 曲面的参数方程305

6.4.6 空间曲线在坐标面上的投影306

习题6-4308

总习题六（A）310

总习题六（B）312

第7章 多元函数微分法及其应用314

7.1 多元函数的基本概念314

7.1.1 平面点集的一些概念314

7.1.2 n维空间317

7.1.3 多元函数的概念317

7.1.4 多元函数的极限320

7.1.5 多元函数的连续性322

习题7-1324

7.2 偏导数325

7.2.1 偏导数的定义及其计算方法325

7.2.2 高阶偏导数329

习题7-2332

7.3 全微分333

7.3.1 全微分的定义333

7.3.2 可微的必要条件与充分条件334

7.3.3 全微分在近似计算中的应用337

习题7-3339

7.4 多元复合函数的微分法339

7.4.1 多元复合函数的求导法则339

7.4.2 全微分的形式不变性344

习题7-4345

7.5 隐函数的微分法346

7.5.1 一个方程的情形346

7.5.2 方程组的情形349

习题7-5351

7.6 多元微分学在几何上的应用352

7.6.1 空间曲线的切线与法平面352

7.6.2 曲面的切平面与法线356

习题7-6359

7.7 方向导数与梯度359

7.7.1 方向导数359

7.7.2 梯度363

习题7-7366

7.8 多元函数的极值及其求法367

7.8.1 多元函数的极值367

7.8.2 条件极值拉格朗日乘数法370

习题7-8375

7.9 数学模型376

7.9.1 最优化模型376

7.9.2 最小二乘法模型377

习题7-9379

总习题七（A）380

总习题七（B）381

第8章 重积分383

8.1 二重积分的概念与性质383

8.1.1 二重积分的概念383

8.1.2 二重积分的性质386

习题8-1388

8.2 二重积分的计算方法389

8.2.1 利用直角坐标计算二重积分389

8.2.2 利用极坐标计算二重积分395

习题8-2400

8.3 三重积分402

8.3.1 三重积分的概念402

8.3.2 三重积分的计算403

习题8-3408

8.4 重积分的应用409

8.4.1 曲面的面积409

8.4.2 质心411

8.4.3 转动惯量413

8.4.4 引力414

习题8-4416

总习题八（A）417

总习题八（B）420

第9章 曲线积分与曲面积分424

9.1 第一类曲线积分424

9.1.1 第一类曲线积分的概念与性质424

9.1.2 第一类曲线积分的计算427

习题9-1429

9.2 第二类曲线积分429

9.2.1 第二类曲线积分的概念与性质429

9.2.2 第二类曲线积分的计算433

9.2.3 两类曲线积分之间的联系436

习题9-2437

9.3 格林公式及其应用438

9.3.1 格林公式438

9.3.2 平面曲线积分与路线无关的条件443

9.3.3 原函数计算的例题446

习题9-3448

9.4 第一类曲面积分449

9.4.1 第一类曲面积分的概念与性质449

9.4.2 第一类曲面积分的计算450

习题9-4453

9.5 第二类曲面积分454

9.5.1 第二类曲面积分的概念与性质454

9.5.2 第二类曲面积分的计算458

9.5.3 两类曲面积分之间的联系460

习题9-5462

9.6 高斯公式与斯托克斯公式463

9.6.1 高斯公式463

9.6.2 斯托克斯公式466

习题9-6469

9.7 散度与旋度470

9.7.1 散度470

9.7.2 旋度471

习题9-7473

总习题九（A）473

总习题九（B）475

第10章 无穷级数478

10.1 常数项级数的概念与性质478

10.1.1 常数项级数的概念478

10.1.2 无穷级数的性质481

习题10-1484

10.2 正项级数485

习题10-2492

10.3 一般项级数及其审敛法493

10.3.1 交错级数及其审敛法493

10.3.2 绝对收敛与条件收敛495

习题10-3498

10.4 幂级数498

10.4.1 函数项级数的概念499

10.4.2 幂级数及其收敛区间500

10.4.3 幂级数的运算504

习题10-4507

10.5 函数展开成幂级数508

10.5.1 泰勒级数508

10.5.2 函数展开成幂级数510

习题10-5515

10.6 函数的幂级数展开式的应用515

10.6.1 近似计算515

10.6.2 欧拉公式518

习题10-6519

10.7 傅里叶级数519

10.7.1 三角级数与三角函数系的正交性519

10.7.2 收敛定理与函数展开成傅里叶级数522

习题10-7526

10.8 一般周期函数的傅里叶级数526

10.8.1 周期为2l的周期函数的傅里叶级数526

10.8.2 正弦级数和余弦级数528

习题10-8532

总习题十（A）532

总习题十（B）536

第11章 微分方程539

11.1 微分方程的基本概念539

习题11-1542

11.2 可分离变量的微分方程543

11.2.1 可分离变量的微分方程543

11.2.2 齐次方程545

习题11-2549

11.3 一阶线性微分方程549

11.3.1 一阶线性微分方程549

11.3.2 伯努利方程553

习题11-3554

11.4 全微分方程555

习题11-4557

11.5 可降阶的高阶微分方程558

11.5.1 y（n）＝f（x）型的微分方程558

11.5.2 y″＝f（x，y′）型的微分方程558

11.5.3 y″＝f（y，y′）型的微分方程561

习题11-5563

11.6 高阶线性微分方程563

11.6.1 齐次线性微分方程解的结构564

11.6.2 非齐次线性微分方程解的结构565

习题11-6567

11.7 常系数齐次线性微分方程567

习题11-7571

11.8 常系数非齐次线性微分方程欧拉方程571

11.8.1 f（x）＝eλxPm（x）型572

11.8.2 f（x）＝eλx［Pl（x）cosωx＋Pn（x）sinωx］型575

11.8.3 欧拉方程576

习题11-8578

11.9 微分方程的简单应用578

习题11-9589

总习题十一（A）591

总习题十一（B）592

第12章 数学实验594

12.1 函数作图594

12.1.1 一元函数作图（二维图形）594

12.1.2 空间曲线的绘制597

12.1.3 空间曲面的绘制599

12.1.4 球面和旋转曲面的绘制601

12.1.5 综合作图602

12.2 函数极限的计算604

12.2.1 求函数的极限604

12.2.2 作图观察函数的连续性606

12.3 函数的导数及微分计算608

12.3.1 一元显函数求导608

12.3.2 隐函数和由参数方程确定函数的求导610

12.3.3 多元函数的偏导数计算611

12.3.4 多元函数极值的计算614

12.4 函数的积分计算616

12.4.1 不定积分的符号计算616

12.4.2 定积分和广义积分的符号计算619

12.4.3 定积分的数值计算623

12.4.4 二重积分和三重积分的计算625

12.5 无穷级数628

12.5.1 级数求和628

12.5.2 数项级数判敛629

12.5.3 泰勒级数和傅里叶级数的展开631

12.6 常微分方程634

12.6.1 常微分方程符号解的求解634

12.6.2 常微分方程的数值解求解635

参考文献638

附录Ⅰ 积分表639

附录Ⅱ 几种常用的曲线645

参考答案648