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前言1

第一章 预备知识1

1.1 Hilbert空间和Banach空间初步1

1.1.1 基本概念1

1.1.2 投影定理5

1.1.3 Riesz表现定理7

1.1.4 线性算子9

1.2 Sobolev空间简介12

1.2.1 广义导数12

1.2.2 Sobolev空间19

1.2.3 嵌入定理20

1.3 紧算子与特征展开26

1.3.1 标准正交系26

1.3.2 紧算子与投影算子30

1.3.3 自共轭紧算子34

1.4 快速Fourier变换(FFT)37

1.5 几个常用的不等式44

1.5.1 Gronwall不等式(连续形式)44

1.5.2 Gronwall不等式(离散形式)45

1.5.3 Hardy型不等式46

参考文献47

第二章 谱方法和正交多项式48

2.1 谱方法的某些例子50

2.1.1 一阶波动方程的Fourier谱方法50

2.1.2 Poisson方程的Legendre Tau方法52

2.1.3 热传导方程的Chebyshev配点法55

2.2 正交多项式57

2.2.1 Fourier系统--连续Fourier展开58

2.2.2 Fourier系统--离散Fourier展开61

2.2.3 微分65

2.3 Sturm-Liouville问题68

2.3.1 正则的Sturm-Liouville问题69

2.3.2 奇异的Sturm-Liouville问题72

2.4 其它正交多项式系统74

2.4.1 Gauss型求积公式和离散多项式变换74

2.4.2 (-1，1)上的正交多项式78

2.4.3 无界区间情形90

参考文献91

第三章 投影算子和插值算子的逼近94

3.1 Fourier逼近94

3.2 Chebyshev逼近102

3.3 Legendre逼近122

3.4 其它正交多项式逼近132

3.5 多维情形134

3.5.1 Fourier逼近134

3.5.2 Chebyshev逼近135

3.5.3 Legendre逼近138

3.6 Fourier逼近和Chebyshev逼近的联合140

3.7 带Chebyshev权的Sobolev嵌入定理149

参考文献151

4.1.1 Lax-Milgram定理和Babus?ka定理153

第四章 谱方法的稳定性和收敛性理论153

4.1 Lax-Milgram定理和Lax-Richtmyer等价性定理153

4.1.2 Lax-Richtmyer等价性定理156

4.2 线性定常问题谱逼近的一般框架160

4.2.1 Galerkin方法161

4.2.2 Tau方法166

4.2.3 配点法(拟谱方法)174

4.3 线性发展方程谱逼近的一般框架181

4.3.1 稳定性和收敛性条件：抛物情形182

4.3.2 稳定性和收敛性条件：双曲情形195

参考文献207

第五章 某些线性和非线性方程的谱方法209

5.1 二维涡度方程的Fourier谱方法209

5.2 KdV方程的Fourier拟谱方法218

5.3 二维抛物型方程的Chebyshev拟谱方法222

5.3.1 半离散Chebyshev拟谱方法224

5.3.2 全离散Chebyshev拟谱方法231

5.4 广义BBM方程的Chebyshev拟谱方法236

5.5 变系数二阶椭圆方程Dirichlet问题的Chebyshev拟谱方法250

5.6 定常Burgers方程的Chebyshev谱方法264

参考文献276

第六章 谱方法的某些新进展278

6.1 用Gegenbauer多项式恢复指数精度278

6.1.1 Gegenbaure多项式及其主要性质279

6.1.2 截断误差280

6.1.3 正则性误差283

6.2 区域分解法287

6.3 非线性Galerkin谱方法293

6.4 具弱阻尼的非线性Schr?dinger方程的大时间误差估计303

6.5 时空方向的谱逼近311

参考文献326