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第零章 复习和补充1

0.0 记号．复习1

0.1 外代数3

0.2 微分法8

0.3 向量空间的开集上的微分形式17

0.4 积分法24

0.5 习题27

第一章 微分方程29

1.1 概述30

1.2 不依赖时间的微分方程：局部解的存在性31

1.3 整体唯一性研究．整体流37

1.4 依赖时间的向量场．依赖一个参数的向量场41

1.5 唯一性和对于依赖时间的向量场的整体流43

1.6 相关知识和线性方程43

第二章 微分流形46

2.1 Rn的子流形47

2.2 抽象流形53

2.3 态射61

2.4 覆叠映射．商67

2.5 切空间74

2.6 子流形，浸入，浸没，嵌入86

2.7 单位法丛…管形91

2.8 习题96

第三章 单位分解．密度．曲线103

3.1 紧致流形的嵌入103

3.2 单位分解106

3.3 流形上的密度110

3.4 一维连通流形的分类115

3.5 流形上的向量场和微分方程119

3.6 习题126

第四章 临界点128

4.1 定义．例子128

4.2 数值函数的非退化临界点．莫尔斯的简约132

4.3 萨德定理142

4.4 习题145

第五章 流形上的微分法147

5.1 丛ArT＊X148

5.2 流形上的微分形式149

5.3 最大阶的微分形式和定向156

5.4 德拉姆群170

5.5 李导数174

5.6 星形开集．庞加莱引理178

5.7 球面和射影空间的德拉姆群180

5.8 环面的德拉姆群184

5.9 习题187

第六章 流形上的积分法190

6.1 d维定向流形上d阶微分形式的积分191

6.2 斯托克斯定理197

6.3 斯托克斯定理的第一批应用201

6.4 欧几里得空间的定向子流形的典范体积形式205

6.5 欧几里得空间的定向子流形的体积209

6.6 欧几里得空间的子流形的典范密度217

6.7 管形的体积Ⅰ：体积形式的补充221

6.8 管形的体积Ⅱ230

6.9 管形的体积Ⅲ236

6.10 习题241

第七章 映射度理论247

7.1 预备引理248

7.2 德拉姆群Rd（X）的确定254

7.3 映射度256

7.4 映射度对于同伦的不变性．应用260

7.5 管形的体积（结尾）和高斯－博内公式266

7.6 属于C0（S1;S1）的映射的映射度271

7.7 抽象流形上向量场的指标274

7.8 习题277

第八章 曲线的局部理论280

8.0 引言281

8.1 定义282

8.2 仿射不变量：切线，密切平面，凸性286

8.3 长度．欧几里得空间的曲线的弧长参数表示291

8.4 欧几里得空间的曲线的曲率293

8.5 在欧几里得定向平面内的定向平面曲线的代数曲率298

8.6 欧几里得空间（3维的）双正则曲线的挠率301

8.7 习题308

第九章 平面曲线的整体理论317

9.1 定义318

9.2 若尔当定理321

9.3 等周不等式326

9.4 平面曲线的回转数329

9.5 切线回转定理333

9.6 整体凸性338

9.7 四顶点定理341

9.8 法布里修斯－布耶尔－哈泊恩公式344

9.9 习题351

第十章 R3的曲面的局部理论的简短导引353

10.1 定义354

10.2 例子355

10.3 曲面的两个基本形式374

10.4 通过第一基本形式计算的量（2维黎曼几何）375

10.5 高斯曲率385

10.6 第二基本形式以及通过它计算的量391

10.7 曲面的两个基本形式之间的关系403

10.8 关于Rn+1中的超曲面404

第十一章 曲面的整体理论的简短导引405

第一部分 2维整体黎曼流形407

11.1 最短路径的整体问题407

11.2 常曲率的曲面409

11.3 度量性质：一阶和二阶变分公式410

11.4 最短路径的唯一性和单射半径411

11.5 K≥k的流形414

11.6 K≤k的流形416

11.7 高斯－博内公式和霍普夫公式417

11.8 曲面上的等周不等式419

11.9 周期测地线和等收缩不等式420

11.10 只有周期测地线的曲面422

11.11 两部分间的过渡：嵌入和浸入问题423

第二部分 嵌入或浸入到R3内的曲面424

11.12 零曲率的曲面424

11.13 高斯曲率为正或零的曲面425

11.14 唯一性和刚性426

11.15 K＜0的曲面427

11.16 平均曲率为零的曲面，又名极小曲面428

11.17 平均曲率是常数的曲面或肥皂泡曲面430

11.18 魏因加滕曲面431

11.19 作为平面族的包络的曲面：公式和应用432

11.20 对于曲面的等周不等式435

11.21 花束：球面和迪潘四次圆纹曲面的表征436

参考文献440

法中术语对照446

索引461