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第一编 数学奥林匹克中的Kummer定理1

第一章 Kummer定理——从一道IMO预选题谈起1

1 问题的提出1

2 关于Kummer的手稿7

第二章 Sophie Germain定理——从一道全国初中数学联赛的试题谈起14

1 引言14

2 Germain其人14

3 Sophie Germain的一个初等定理及推广16

4 在初中数学竞赛中的应用20

第三章 Hilbert的一个反例23

1 引言23

2 Hilbert的一个反例24

3 K（？）中整数的分解：不属于域的最大公因子30

第二编 p进制中的Kummer定理39

第一章 Kummer定理在数论中的应用39

第三编 从Fermat到Euler61

第一章 Fermat——孤独的法官61

1 出身贵族的Fermat61

2 官运亨通的Fermat63

3 淡泊致远的Fermat65

4 复兴古典的Fermat67

5 议而不作的数学家70

第二章 Fermat定理和Wilson定理以及它们的推广和逆命题；1，2，…，p-1模p的对称函数74

1 Fermat定理和Wilson定理；直接推广74

2 Fermat定理的推论F（a，N）≡O（mod N）122

3 Fermat定理的进一步推论127

4 Fermat定理的逆命题136

5 1，2，…，p-1模p的对称函数143

第三章 Euler——多产的数学家158

1 n＝3时，Fermat定理的初等证明159

2 被印在钞票上的数学家160

第四编 从Euler到Kummer165

第一章 从Euler到Kummer的数论黄金年代165

1 从Euler到Kummer165

2 Kummer的理想因子理论168

3 Kummer引理185

4 总结186

第二章 Kummer——“理想”的创造者188

1 “老古董”——Kummer188

2 哲学的终生爱好者——Kummer191

3 “理想数”的引入者——Kummer193

4 承上启下的Kummer199

5 悠闲与幽默的Kummer205

第五编 Birkhoff论整环209

第一章 多项式209

1 多项式形式209

2 多项式函数213

3 交换环的同态217

4 多元多项式220

5 辗转相除法222

6 单位与相伴224

7 不可约多项式227

8 唯一因子分解定理228

9 其他唯一因子分解整环232

第六编 代数数论中的理想理论239

第一章 理想唯一分解定理（一）239

第二章 理想的进一步性质247

第三章 理想唯一分解定理（二）257

第四章 理想的结构265

第五章 对理想的同余269

第六章 二次域的素理想279

第七编 有理指数的Fermat大定理与Kummer扩域291

第一章 有理指数的Fermat大定理291

1 介绍291

2 实根的情况293

3 需要的Galois理论片断295

4 主要结果298

第二章 关于不定方程x？＋y？＝z？，x？＋y？＝z？的整数解以及代数数域Q（p？，p？，…，p？）的次数304

第三章 关于不定方程x？＋y？＝z？的广义整数解及一类Kummer扩域的次数313

1 引言313

2 关于一类Kummer扩域的次数315

3 几个引理322

4 方程x？＋y？＝z？的广义整数解329