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第1章 实分析基础1

1.1 集合与映射1

1.1.1 集合1

1.1.2 映射3

1.1.3 集合的基数4

1.2 实数与函数的有关定理7

1.2.1 实数的有关定理7

1.2.2 函数的有关概念与定理11

1.3 直线上的开集和闭集15

1.3.1 开集和闭集的概念15

1.3.2 开集和闭集的性质17

1.3.3 开集和闭集的结构19

1.4 可测集20

1.4.1 有界开集和闭集的测度20

1.4.2 可测集的概念22

1.4.3 可测集的性质24

1.5 可测函数25

1.5.1 可测函数的概念25

1.5.2 可测函数的性质27

1.5.3 几乎处处收敛和测度收敛29

1.6 Lebesgue积分31

1.6.1 Riemann积分31

1.6.2 Lebesgue积分的概念33

1.6.3 Lebesgue积分的性质35

1.6.4 Lp空间37

习题138

第2章 距离空间41

2.1 距离空间的定义和例子41

2.1.1 距离空间的定义41

2.1.2 距离空间的实例41

2.2 度量空间中的点集47

2.2.1 距离拓扑47

2.2.2 稠密集与可分性48

2.3 完备距离空间49

2.3.1 距离空间的完备化52

2.4 紧性与列紧性54

2.5 Banach空间60

2.6 不动点原理及其应用68

2.6.1 Banach不动点原理及迭代方法68

2.6.2 压缩映像原理在积分方程理论中的应用72

2.6.3 利用不动点定理求解常微分方程74

2.7 有界线性泛函与Hahn-Banach扩张定理76

2.7.1 有界线性算子76

2.7.2 Hahn-Banach定理84

习题2100

第3章 Hilbert空间107

3.1 内积空间107

3.1.1 内积空间的概念和性质107

3.1.2 常见的内积空间110

3.2 几个常用的Hilbert空间112

3.3 正交分解115

3.3.1 正交与正交补115

3.3.2 变分原理与正交分解定理117

3.3.3 正交分解定理的应用120

3.4 Hilbert空间中的Fourier分析123

3.4.1 标准正交系123

3.4.2 Fourier级数126

3.5 Hilbert空间的同构129

习题3131

第4章 有界线性算子135

4.1 一致有界原理，开映射定理和闭算子定理135

4.1.1 一致有界原理135

4.1.2 开映射定理，闭算子定理139

4.2 共轭空间与共轭算子141

4.2.1 共轭空间141

4.2.2 共轭算子143

4.2.3 算子的值域与核空间145

4.3 算子的谱147

4.3.1 谱的定义和性质147

4.3.2 具体算子的谱149

4.4 紧算子152

4.4.1 紧算子的定义及性质152

4.4.2 紧算子的谱155

4.5 自伴算子，射影算子156

4.5.1 自伴算子的定义及性质157

4.5.2 射影161

4.5.3 不变子空间与约化子空间164

习题4165

附录 Sobolev空间168

A.1 Sobolev空间168

A.1.1 广义导数168

A.1.2 Sobolev空间W1 2（G）170

A.1.3 Sobolev空间W1 2（G）171

A.2 正规正交基的存在性与Parseval公式174

A.2.1 正规正交基的存在性174

A.2.2 Parseval公式174

A.3 共轭双线性泛函176

A.4 Hilbert共轭算子与Lax-Milgram定理178

A.4.1 Hilbert共轭算子178

A.4.2 Lax-Milgram定理182

A.4.3 算子的矩阵表示185

A.5 二次变分问题187

A.5.1 双线性形式187

A.5.2 二次变分问题的主定理188

A.6 从泛函分析角度考察Dirichlet原理190

A.6.1 经典的欧拉-拉格朗日方程191

A.6.2 广义边界值194

A.6.3 Poincare-Friedrichs不等式194

A.6.4 Dirichlet问题的解的存在性196

参考文献199

索引200