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第一章 集合与映射1

1.1 集和集的运算1

1.2 映射与逆映射6

1.3 对等与基数9

1.4 可列集与不可列集11

习题14

第二章 点集16

2.1 基本概念16

2.2 开集·闭集21

2.3 开集和闭集的构造25

2.4 完全集·稠密集27

2.5 哥西(Cauchy)点列与点集的完备性29

2.6 点集的确界与确界存在定理31

2.7 紧集33

习题36

第三章 度量空间38

3.1 度量空间及其例子38

3.2 度量空间进一步例子44

3.3 度量空间中的点集52

3.4 度量空间中的极限.稠密集.可分空间54

3.5 连续映射60

3.6 哥西点列和完备度量空间66

3.7 度量空间的完备化74

3.8 压缩映射原理及其应用76

3.9 度量空间中的紧集81

习题89

4.1 线性空间94

第四章 线性赋范空间与巴拿赫(Banach)空间94

4.2 线性赋范空间与巴拿赫空间99

4.3 线性算子和线性泛函的定义108

4.4 线性有界算子111

4.5 线性算子空间118

4.6 有界线性泛函与共轭空间123

4.7 泛函延拓定理132

4.8 共轭算子136

4.9 逆算子、逆算子定理142

4.10 闭图象定理147

4.11 一致有界定理150

4.12 线性赋范空间中的几种收敛概念154

4.13 凸集158

习题161

第五章 内积空间和希尔伯特(Hilbert)空间167

5.1 内积空间和希尔伯特空间的基本概念167

5.2 正交性与投影定理174

5.3 内积空间的正交系185

5.4 希尔伯特空间的自共轭性201

5.5 希尔伯特空间伴随算子204

习题213

第六章 线性算子谱论简介218

6.1 谱的概念218

6.2 有界线性算子谱的基本性质221

6.3 有界自伴线性算子谱的基本性质225

6.4 自伴全连续算子的特征展开227

习题233

7.1 算子的微分235

第七章 泛函的极值235

7.2 泛函的极值243

7.3 具有等式约束的极值248

附录Ⅰ 实数与极限论256

Ⅰ.1 有理数256

Ⅰ.2 实数258

Ⅰ.3 关于实数列的极限理论263

Ⅱ.1 连续函数268

附录Ⅱ 连续函数和函数列一致收敛268

Ⅱ.2 函数列的收敛与一致收敛的概念270

附录Ⅲ 数集的测度与可测函数273

Ⅲ.1 数集的测度273

Ⅲ.2 可测函数281

附录Ⅳ 勒贝格积分287

Ⅳ.1 黎曼(Riemann)积分定义287

Ⅳ.2 勒贝格积分定义290

Ⅳ.3 勒贝格积分的性质及积分的极限定理298