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第一章 基本概念1

1.1. 流形1

1. 集合论中几个常用的记号1

2. 数空间2

3. 拓扑空间的定义及其一些有关的概念2

4. 函数.连续性.同胚5

5. 度量空间的完备化7

6. 微分流形8

7. 微分映射14

1.2. 切空间及余切空间，向量14

1. 切向量.切空间14

2. 余切空间18

1.3. 群的一些基本概念20

1. 抽象群20

2. 变换.变换群20

3. 李群.连续变换群23

1.4. 外代数24

1. p-向量空间24

2. 外代数27

1.5. 外导数30

1. 微分形式30

2. 外导数31

3. Stokes公式34

4. Frobenius定理37

1. 矩阵序列的收敛性46

1.6. 矩阵分析46

2. 矩阵级数48

3. 指数矩阵函数和三角矩阵函数49

4. 矩阵函数49

5. Cartan矩阵与微分几何中的基本定理53

第二章 欧氏微分几何56

2.1. 平面曲线的欧氏微分几何56

1. 曲线的参数表示57

2. 活动标架57

3. 平面曲线论的基本定理60

4. 两条平面曲线的接触63

5. 平面曲线的渐屈线与渐开线69

6. 包络线72

7. 螺旋弧74

8. 四顶点定量76

9. 等周问题80

2.2. 空间曲线的欧氏微分几何85

1. 曲线的参数表示85

2. 活动标架86

3. 曲率与挠率91

4. 标准展开式.曲线在每个正常点邻近的结构94

5. 曲率球面.密切球面96

6. m维空间Em中的曲线98

2.3. 曲面的欧氏微分几何100

1. 曲面的参数表示100

2. 曲面的切面与法线.活动标架.基本形式与曲率101

3. 绝对微分与Levi-Civita平行移动.测地线115

4. Gauss-Honnet公式117

5. 曲面在每点邻近的形状121

6. n维空间En中的超曲面Mn-1123

7. 杂例127

8. 积分理论.曲面论的基本定理138

9. 曲面的等距映射148

2.4. 直纹面与直线汇154

1. 直纹面154

2. 可展面162

3. 直线汇166

3.1. 平面曲线的仿射微分几何170

1. 活动标架170

第三章 仿射微分几何170

2. 几何解释. 二次曲线174

3. 六切点177

3.2. 空间曲线的仿射微分几何179

1. 活动标架180

2. 定值仿射曲率的曲线185

3. m维仿射空间中的曲线186

3.3. 曲面的仿射微分几何188

1. Frenet公式188

2. 曲面的基本形式195

3. 导出方程197

4. 特殊曲面198

5. 密切二次曲面.Darboux切线208

6. Lie的二次曲面210

7. 曲面上的曲线213

第四章 射影微分几何219

4.1. 平面曲线的射影微分几何219

1. 平面曲线的解析基础.射影协变元素和不变式的几何意义220

2. 两条平面曲线的接触不变式229

3. 平面曲线的奇点232

4. 平面曲线对236

4.2. 空间曲线的射影微分几何244

1. 三维空间曲线的射影理论245

2. 两条空间曲线的接触不变式256

3. 具有不同切线的两条相交空间曲线的不变式257

4. 两条准线262

5. 四维空间曲线的射影理论263

6. n维空间曲线的射影理论267

4.3. 曲面的射影微分几何271

1. 射影曲面论的基础272

2. 一切渐近曲线属于线性丛的曲面(简称？曲面)317

3. 高维空间中的共轭网319

4. Gartan规范标架321

5. Godeaux二次曲面序列323

附录：问题与定量326

一、欧氏微分几何326

二、仿射微分几何331

三、射影微分几何336

参考文献340