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第1章　一阶微分方程1

1.1　微分方程与数学模型1

1.2　通解和特解的积分形式9

1.3　方向场和解曲线17

1.4　分离变量方程与应用29

1.5　一阶线性微分方程44

1.6　替换方法和恰当方程56

第1章总复习题72

第2章　数学模型与数值方法73

2.1　人口模型73

2.2　平衡解与稳定性85

2.3　加速度-速度模型94

2.4　数值逼近：欧拉方法105

2.5　再论欧拉方法117

2.6　龙格-库塔方法127

第3章　高阶线性微分方程139

3.1　介绍：二阶线性方程139

3.2　线性方程的通解150

3.3　具有常系数的齐次方程160

3.4　机械振动169

3.5　非齐次方程和待定系数法181

3.6　受迫振动和共振192

3.7　电路204

3.8　端点问题和特征值210

第4章　微分方程组简介221

4.1　一阶方程组及应用221

4.2　消元法233

4.3　方程组的数值方法243

第5章　线性微分方程组259

5.1　矩阵和线性方程组259

5.2　齐次方程组的特征值法276

5.3　二阶方程组及力学应用291

5.4　多重特征值解303

5.5　矩阵指数和线性方程组319

5.6　非齐次线性方程组331

第6章　非线性方程组及现象340

6.1　稳定性及相位平面340

6.2　线性和殆线性方程组352

6.3　生态模型：捕食者与竞争者367

6.4　非线性机械系统382

6.5　动力系统中的混沌397

第7章　拉普拉斯变换法410

7.1　拉普拉斯变换和逆变换410

7.2　初值问题的变换419

7.3　平移和部分分式429

7.4　变换的导数、积分和乘积438

7.5　周期的和分段连续的输入函数444

7.6　脉冲函数和δ函数455

第8章　幂级数方法464

8.1　幂级数的复习和介绍464

8.2　靠近寻常点的级数解474

8.3　正则奇点485

8.4　弗罗贝尼乌斯方法：特别情况499

8.5　贝塞尔方程512

8.6　贝塞尔函数的应用521

第9章　傅里叶级数方法529

9.1　周期函数和三角级数529

9.2　一般傅里叶级数及收敛性536

9.3　傅里叶正弦和余弦级数544

9.4　傅里叶级数的应用555

9.5　热传导和变量的分离560

9.6　振动弦和一维波动方程573

9.7　稳定状态温度和拉普拉斯方程585

第10章　特征值和边值问题595

10.1　施图姆-刘维尔问题和特征函数展开595

10.2　特征函数级数的应用607

10.3　稳定周期解和固有频率618

10.4　柱坐标问题628

10.5　高维现象641

附录A　解的存在性和惟一性658

A1　解的存在性658

A2　线性方程组664

A3　局部存在性665

A4　解的惟一性666

A5　理想问题和数学模型668

参考文献671

1.3　应用：计算机构造的方向场和解曲线28

1.4　应用：逻辑斯谛方程43

1.5　应用：室内温度的摆动54

1.6　应用：计算机代数解69

2.1　应用：人口数据的逻辑斯谛模型83

2.3　应用：火箭的推进103

2.4　应用：欧拉方法的实现116

2.5　应用：改进的欧拉方法的实现125

2.6　应用：龙格-库塔方法的实现136

3.1　应用：描绘二阶方程解族149

3.2　应用：描绘三阶方程解族160

3.3　应用：线性方程的近似解168

3.5　应用：参数的自动变分191

3.6　应用：受迫振动202

4.1　应用：引力和开普勒行星运动定律230

4.2　应用：方程组的计算机代数解242

4.3　应用：彗星和宇宙飞船254

5.1　应用：线性方程组的自动解法276

5.2　应用：特征值和特征向量的自动计算290

5.3　应用：地震产生的多层建筑的振动301

5.4　应用：亏损特征值和广义特征向量317

5.5　应用：自动指数矩阵解330

5.6　应用：自动参数的自动变分338

6.1　应用：相位平面图和一阶方程351

6.2　应用：殆线性方程组和相位平面图366

6.3　应用：私家野生生物保护区381

6.4　应用：瑞利和范德波尔方程394

7.1　应用：计算机代数变换和逆变换419

7.2　应用：初值问题的变换428

7.3　应用：阻尼和共振研究436

7.5　应用：工程函数454

8.2　应用：级数系数的自动计算483

8.3　应用：自动生成弗罗贝尼乌斯级数方法497

8.4　应用：阶简化的特别情况511

8.6　应用：里卡蒂方程和修正贝塞尔方程526

9.2　应用：傅里叶系数的计算机代数计算542

9.3　应用：分段光滑函数的傅里叶级数553

9.5　应用：热棒研究571

9.6　应用：振动弦研究583

10.1　应用：数值特征函数展开606

10.2　应用：热流动的数值研究616

10.3　应用：振动梁和跳水踏板626

10.4　应用：贝塞尔函数和受热圆柱640