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第1章 半线性微分方程的现代方法简介1

1.1 线性微分方程1

1.1.1 线性特征值问题1

1.1.2 Fredholm二择一性质5

1.1.3 线性微分方程7

1.2 Sobolev空间与嵌入定理10

1.2.1 Sobolev空间10

1.2.2 嵌入定理11

1.2.3 n＝1时的Sobolev空间12

1.3 单调算子13

1.3.1 单调算子的概念13

1.3.2 单调算子的满值性14

1.3.3 凸泛函与其梯度算子15

1.4 同胚的充分条件16

1.5 常用的不动点定理17

1.5.1 压缩映射原理17

1.5.2 Schauder不动点定理17

1.5.3 Poincaré-Birkhoff不动点定理18

1.6 含参方程的解集连通理论19

1.6.1 解集为连通集的充分条件19

1.6.2 解集中含有连通分支的条件21

1.7 延拓定理22

1.7.1 Leray-Schauder原理22

1.7.2 Mawhin延拓定理23

1.8 变分方法25

1.8.1 无约束极值点25

1.8.2 Ekeland变分原理26

1.8.3 极大极小原理27

1.9 正算子理论30

1.9.1 锥上的不动点定理30

1.9.2 Gelfand公式 Krein-Rutman定理32

1.10 分歧理论33

附注Ⅰ36

第2章 线性方程的不跨特征值扰动37

2.1 不跨特征值问题研究概况37

2.1.1 Dolph定理37

2.1.2 一个趋势39

2.1.3 方程组的情形40

2.2 抽象方程·渐近一致·minimax方法41

2.2.1 一个minimax定理42

2.2.2 L2空间中的抽象结果46

2.2.3 应用举例50

2.3 常微分方程组的周期解·渐近非一致·Hadamard反函数定理54

2.4 波方程·渐近非一致·Mawhin延拓定理58

2.4.1 主要定理59

2.4.2 预备引理60

2.4.3 定理2.4.1的证明64

2.4.4 存在唯一性结果66

2.5 椭圆方程·渐近非一致·鞍点约化法66

2.5.1 一对存在性结果66

2.5.2 注记71

2.6 Duffing方程·渐近非一致·相平面分析法73

2.6.1 主要存在性结果73

2.6.2 一个重要反例74

2.6.3 预备引理75

2.6.4 定理2.6.2的证明83

2.6.5 Duffing方程2π-周期解的唯一性84

附注Ⅱ87

第3章 线性方程的跨特征值扰动88

3.1 Landesman和Lazer的结果·有界非线性项·临界点理论88

3.1.1 一个抽象临界点定理88

3.1.2 Landesman和Lazer的结果91

3.2 多解定理·有界非线性项·映射同胚的条件94

3.2.1 记号94

3.2.2 Lyapunov-Schmidt过程95

3.2.3 Γg（t）的行为97

3.2.4 存在性定理98

3.2.5 多解定理99

3.2.6 方程△u＋λ1u＋f（x,u）＝？101

3.2.7 λk-1≤λk＋f′（s）≤λk＋1时的结果102

3.3 椭圆方程·有界非线性项·集连通技巧103

3.3.1 主要结果103

3.3.2 定理的证明105

3.4 两点边值问题·渐近一致条件·延拓定理108

3.4.1 Landesman-Lazer条件下的结果108

3.4.2 符号条件下的结果111

3.5 抽象方程·渐近非一致·延拓定理119

3.5.1 记号和引理120

3.5.2 抽象存在性结果123

3.5.3 应用129

3.6 两点边值问题·渐近非一致·延拓定理131

3.6.1 符号条件下的Dirichlet边值问题131

3.6.2 广义符号条件下的Neumann问题138

3.6.3 广义符号条件下的Dirichlet问题138

3.7 Duffing方程·跨有限个特征值·Poincaré-Birkhoff定理141

3.7.1 结论142

3.7.2 预备引理143

3.7.3 定理3.7.1的证明146

附注Ⅲ149

第4章 强共振和带周期非线性项的共振150

4.1 共振问题的分类150

4.2 椭圆方程Dirichlet问题·强共振·C条件及环绕理论152

4.2.1 C条件及临界点定理153

4.2.2 C条件的验证153

4.2.3 解的存在性158

4.2.4 非平凡解的存在性160

4.3 波方程·强共振·Link理论163

4.3.1 预备知识164

4.3.2 定理4.3.1的证明167

4.3.3 非平凡解的存在性168

4.4 两点边值问题·周期非线性项·临界点理论170

4.4.1 预备知识170

4.4.2 主要结果172

4.5 椭圆方程·周期非线性项·没有［P.S.］的环绕理论176

4.5.1 预备引理177

4.5.2 不同类集族间的联系178

4.5.3 定理4.5.1的证明180

4.5.4 定理4.5.2的证明183

附注Ⅳ185

第5章 特征线问题及其扰动186

5.1 Fǔcik谱的定义186

5.1.1 假设和记号186

5.1.2 集合Ai（i＝－1,0,1,2,3）的性质187

5.1.3 Fǔcik广义谱192

5.1.4 几点补充196

5.2 Liénard方程PBVP·不跨特征线扰动·Leray-Schauder度理论197

5.2.1 一个重要引理197

5.2.2 存在性定理199

5.3 两点边值问题·跨特征线扰动·延拓定理203

5.3.1 预备引理203

5.3.2 Landesman-Lazer型存在定理205

5.3.3 高特征值的情形208

5.4 梁方程·不跨特征线扰动·Leray-Schauder原理209

5.4.1 两参数特征值问题209

5.4.2 存在性定理211

附注Ⅴ212

第6章 非线性常微分方程边值问题的正解213

6.1 二阶常微分方程两点边值问题的Green函数213

6.2 非线性二阶常微分方程Sturm-Liouville问题正解的存在性218

6.3 二阶常微分方程多点边值问题的Green函数223

6.4 非线性常微分方程多点边值问题正解的存在性229

第7章 分歧理论在非线性常微分方程边值问题中的应用238

7.1 非线性四阶常微分方程两点边值问题正解的存在性238

7.2 非线性常微分方程边值问题的结点解246

7.3 非线性常微分方程多点边值问题解的全局分歧结构255

参考文献264

《现代数学基础丛书》已出版书目280