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1极限与连续1

1.1极限的概念与性质1

1.1.1极限的基本概念1

1.1.2极限的性质与法则6

1.1.3函数、数列、子数列之间的关系10

1.2函数的连续性13

1.2.1函数连续的概念与性质13

1.2.2函数间断的概念15

1.2.3闭区间上连续函数的性质及其应用20

1.3极限存在的准则24

1.4极限的计算31

1.4.1基本型不定式极限的计算31

1.4.2幂指函数极限的计算37

1.4.3极限中参数的确定39

2一元函数导数的概念与计算44

2.1导数与微分的概念44

2.1.1一元函数导数的定义44

2.1.2一元函数导数的基本性质50

2.1.3分段函数的可导性讨论52

2.1.4微分的定义55

2.2一元函数导数的计算57

2.2.1基本类型函数的导数计算与应用57

2.2.2高阶导数的计算66

3微分中值定理及其应用71

3.1微分中值定理71

3.1.1微分中值定理的分析71

3.1.2泰勒定理与泰勒公式的建立74

3.2微分中值定理的若干应用77

3.2.1函数与其导数之间的关系77

3.2.2微分中值定理的中值的若干问题81

3.2.3利用微分中值定理证明不等式85

3.2.4利用洛必达法则求极限87

3.2.5泰勒公式的若干应用92

3.3利用微分中值定理讨论方程的实根99

4一元函数及其性态分析112

4.1函数112

4.1.1函数的概念112

4.1.2函数的构造116

4.2一元函数性态的分析118

4.2.1函数的单调性与极值119

4.2.2曲线的凹向性122

4.2.3函数性态的综合分析125

4.2.4函数的最优值问题131

4.3函数性态分析的应用134

4.3.1结合函数性态分析讨论方程的实根134

4.3.2利用函数性态分析证明不等式136

5一元函数积分的概念与性质143

5.1一元函数积分的概念与性质143

5.1.1不定积分与定积分的概念143

5.1.2不定积分与定积分的性质147

5.1.3广义积分的概念与性质150

5.2变限定积分155

5.2.1变限定积分函数的概念与性质155

5.2.2变限定积分函数的性态分析158

5.2.3含有变限定积分的极限的计算162

5.2.4变限定积分函数的连续性与可导性167

5.2.5变限定积分的导数与积分的计算169

5.3定积分的证明174

5.3.1定积分的若干证明174

5.3.2结合定积分性质讨论方程的实根182

5.3.3定积分不等式的证明188

6一元函数积分的计算与应用203

6.1一元函数积分的计算203

6.1.1不定积分的计算203

6.1.2定积分的计算215

6.1.3分段函数积分的计算224

6.1.4广义积分的计算229

6.2定积分的应用233

6.2.1定积分在几何中的应用234

6.2.2定积分在物理中的应用246

7无穷级数257

7.1无穷级数的基本概念与性质257

7.1.1无穷级数敛散性的定义257

7.1.2无穷级数的基本性质262

7.2无穷级数敛散性的判断265

7.2.1无穷级数敛散性的判别265

7.2.2利用无穷级数讨论数列极限的存在性284

8幂级数与傅里叶级数288

8.1幂级数的收敛域及其和函数288

8.1.1幂级数收敛域的确定288

8.1.2幂级数和函数的求取294

8.1.3数项级数和值的求取301

8.1.4幂级数的和函数与微分方程305

8.2函数的幂级数展开308

8.3函数的傅里叶级数展开317

8.3.1函数的傅里叶系数与傅里叶级数317

8.3.2傅里叶级数的收敛定理317

8.3.3以2l为周期的函数的傅里叶级数的展开318

8.3.4定义在［0，l］上函数的傅里叶级数的展开322

9多元函数微分学327

9.1多元函数的基本概念与性质327

9.1.1多元函数327

9.1.2多元函数的极限与连续329

9.1.3多元函数的偏导数333

9.1.4全微分338

9.2偏导数与全微分的计算342

9.2.1多元函数在给定点处的偏导数与全微分342

9.2.2多元复合函数的偏导数344

9.2.3隐函数的偏导数350

9.2.4通过变量变换化简微分方程354

9.2.5偏导数与微分方程356

9.3多元函数的优化问题357

9.3.1多元函数的极值问题357

9.3.2多元函数的最优值问题359

9.3.3利用多元函数最优化的方法证明不等式364

10重积分367

10.1二重积分367

10.1.1二重积分的概念与性质367

10.1.2二重积分的计算378

10.1.3二重积分的不等式387

10.1.4广义二重积分的概念与计算393

10.1.5二重积分的应用396

10.2三重积分403

10.2.1三重积分的概念与性质403

10.2.2三重积分的计算与应用410

11矢量代数·解析几何·场论初步421

11.1矢量代数421

11.2空间解析几何426

11.2.1平面与直线426

11.2.2空间曲面及其方程435

11.2.3空间曲线及其方程437

11.3场论初步441

12曲面积分与曲线积分450

12.1第一类曲线积分与曲面积分450

12.1.1第一类曲线积分450

12.1.2第一类曲面积分455

12.2第二类曲面积分463

12.2.1第二类曲面积分的概念与性质463

12.2.2第二类曲面积分的计算464

12.3第二类曲线积分476

12.3.1第二类曲线积分的概念与性质476

12.3.2第二类曲线积分的计算478

12.3.3平面曲线积分与路径无关494

13常微分方程504

13.1常微分方程的基本概念及其解的性质504

13.1.1常微分方程的基本概念504

13.1.2线性微分方程解的性质与解的结构理论507

13.2一阶微分方程509

13.2.1一阶线性微分方程509

13.2.2一阶非线性微分方程518

13.2.3一阶微分方程的应用526

13.3高阶微分方程530

13.3.1常系数线性微分方程530

13.3.2变系数线性微分方程546

13.3.3非线性微分方程553

14经济学中的若干数学问题559

14.1微积分在经济学中的应用559

14.1.1极限在经济问题中的应用559

14.1.2导数在经济问题中的应用560

14.1.3积分在经济问题中的应用566

14.1.4最优化原则在经济问题中的应用569

14.2差分方程573

14.2.1差分与差分方程的基本概念573

14.2.2一阶常系数线性差分方程的求解574

附录A数学思想与创新思维选读580

A1特殊与一般580

A1.1特殊与一般580

A1.2两种常用的化归思维方法581

A1.3关系映射反演方法582

A1.4函数构造583

A2分解与组合584

A2.1分解584

A2.2组合586

A3联想、类比、归纳与演绎587

A3.1联想与类比587

A3.2归纳与演绎589

A4思维590

A4.1思维590

A4.2同向思维与逆向思维591

A4.3对偶结构思维593

A4.4非逻辑思维593

A5抽象596

A5.1抽象与数学抽象596

A5.2弱抽象与强抽象597

A6数学中的美学599

A6.1美学599

A6.2数学美599

A6.3数学美的内容601

A6.4数学美的特征602