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第1章 几何和复算术1

1.1　引言1

1.1.1　历史的概述1

1.1.2　庞贝利的“奇想”3

1.1.3　一些术语和记号5

1.1.4　练习6

1.1.5　符号算术和几何算术的等价性7

1.2　欧拉公式8

1.2.1　引言8

1.2.2　用质点运动来论证9

1.2.3　用幂级数来论证10

1.2.4　用欧拉公式来表示正弦和余弦12

1.3　一些应用12

1.3.1　引言12

1.3.2　三角13

1.3.3　几何14

1.3.4　微积分17

1.3.5　代数19

1.3.6　向量运算24

1.4　变换与欧氏几何26

1.4.1　克莱因眼中的几何26

1.4.2 运动的分类30

1.4.3　三反射定理32

1.4.4　相似性与复算术34

1.4.5　空间复数37

1.5　习题39

第2章　作为变换看的复函数47

2.1　引言47

2.2　多项式49

2.2.1　正整数幂49

2.2.2　回顾三次方程50

2.2.3　卡西尼曲线51

2.3　幂级数54

2.3.1 实幂级数的神秘之处54

2.3.2　收敛圆57

2.3.3　用多项式逼近幂级数60

2.3.4 唯一性61

2.3.5　对幂级数的运算62

2.3.6　求收敛半径64

2.3.7　傅里叶级数67

2.4　指数函数69

2.4.1　幂级数方法69

2.4.2 这个映射的几何意义70

2.4.3　另一种方法71

2.5　余弦与正弦73

2.5.1　定义与恒等式73

2.5.2　与双曲函数的关系74

2.5.3　映射的几何76

2.6　多值函数78

2.6.1　例子：分数幂78

2.6.2　多值函数的单值支80

2.6.3 与幂级数的关联82

2.6.4　具有两个支点的例子83

2.7　对数函数85

2.7.1　指数函数的逆85

2.7.2 对数幂级数87

2.7.3　一般幂级数88

2.8　在圆周上求平均值89

2.8.1　质心89

2.8.2　在正多边形上求平均值91

2.8.3　在圆周上求平均值94

2.9　习题96

第3章　默比乌斯变换和反演106

3.1　引言106

3.1.1　默比乌斯变换的定义和意义106

3.1.2 与爱因斯坦相对论的联系107

3.1.3　分解为简单的变换107

3.2　反演108

3.2.1　初步的定义和事实108

3.2.2　圆周的保持110

3.2.3　用正交圆周构作反演点112

3.2.4　角的保持114

3.2.5 对称性的保持115

3.2.6 对球面的反演116

3.3　反演应用的三个例子118

3.3.1　关于相切圆的问题118

3.3.2　具有正交对角线的四边形的一个奇怪的性质119

3.3.3　托勒密定理120

3.4　黎曼球面121

3.4.1　无穷远点121

3.4.2　球极射影121

3.4.3　把复函数转移到球面上124

3.4.4　函数在无穷远点的性态125

3.4.5　球极射影的公式127

3.5　默比乌斯变换：基本结果129

3.5.1 圆周、角度和对称性的保持129

3.5.2　系数的非唯一性130

3.5.3　群性质131

3.5.4　不动点132

3.5.5　无穷远处的不动点132

3.5.6　交比134

3.6　默比乌斯变换作为矩阵136

3.6.1　与线性代数的联系的经验上的证据136

3.6.2　解释：齐次坐标138

3.6.3　特征向量与特征值139

3.6.4　球面的旋转作为默比乌斯变换141

3.7 可视化与分类143

3.7.1　主要思想143

3.7.2　椭圆型、双曲型和斜驶型变换144

3.7.3　乘子的局部几何解释146

3.7.4　抛物型变换147

3.7.5　计算乘子149

3.7.6　用特征值解释乘子150

3.8　分解为2个或4个反射151

3.8.1　引言151

3.8.2　椭圆型情况151

3.8.3 双曲型情况152

3.8.4　抛物型情况154

3.8.5　总结154

3.9　单位圆盘的自同构155

3.9.1　计算自由度的数目155

3.9.2　用对称原理来求公式156

3.9.3　最简单的公式的几何解释157

3.9.4　介绍黎曼映射定理158

3.10　习题159

第4章　微分学：伸扭的概念166

4.1　引言166

4.2　一个令人迷惑的现象166

4.3　平面映射的局部描述168

4.3.1　引言168

4.3.2　雅可比矩阵168

4.3.3　伸扭的概念170

4.4　复导数作为伸扭170

4.4.1　重新考察实导数170

4.4.2　复导数171

4.4.3　解析函数173

4.4.4　简短的总结174

4.5　一些简单的例子175

4.6　共形＝解析176

4.6.1　引言176

4.6.2　在整个区域中的共形性177

4.6.3　共形性与黎曼球面179

4.7　临界点179

4.7.1　挤压的程度179

4.7.2　共形性的破坏180

4.7.3　支点181

4.8　柯西-黎曼方程182

4.8.1　引言182

4.8.2　线性变换的几何学183

4.8.3　柯西-黎曼方程184

4.9　习题185

第5章 微分学的进一步的几何研究190

5.1　柯西-黎曼的真面目190

5.1.1　引言190

5.1.2　笛卡儿形式190

5.1.3　极坐标形式191

5.2　关于刚性的一个启示192

5.3　log（z）的可视微分法195

5.4　微分学的各法则196

5.4.1　复合196

5.4.2　反函数197

5.4.3　加法与乘法198

5.5　多项式、幂级数和有理函数198

5.5.1　多项式198

5.5.2　幂级数199

5.5.3　有理函数201

5.6　幂函数的可视微分法201

5.7　exp（z）的可视微分法203

5.8　E′＝E的几何解法204

5.9　高阶导数的一个应用：曲率206

5.9.1　引言206

5.9.2　曲率的解析变换207

5.9.3　复曲率209

5.10　天体力学212

5.10.1　有心力场212

5.10.2　两类椭圆轨道213

5.10.3　把第一种椭圆轨道变为第二种215

5.10.4　力的几何学216

5.10.5　一个解释216

5.10.6　卡斯纳-阿诺尔德定理217

5.11　解析拓展218

5.11.1　引言218

5.11.2　刚性219

5.11.3　唯一性220

5.11.4　恒等式的保持222

5.11.5 通过反射作解析拓展223

5.12　习题227

第6章　非欧几何学236

6.1　引言236

6.1.1　平行线公理236

6.1.2　非欧几何的一些事实238

6.1.3　弯曲曲面上的几何学239

6.1.4 内蕴几何与外在几何的对立241

6.1.5　高斯曲率241

6.1.6　常曲率曲面243

6.1.7　与默比乌斯变换的联系244

6.2　球面几何245

6.2.1　球面三角形的角盈245

6.2.2　球面上的运动：空间旋转和反射246

6.2.3　球面上的一个共形映射249

6.2.4　空间旋转也是默比乌斯变换252

6.2.5　空间旋转与四元数256

6.3　双曲几何259

6.3.1　曳物线和伪球面259

6.3.2　伪球面的常值负曲率260

6.3.3　伪球面上的一个共形映射261

6.3.4　贝尔特拉米的双曲平面263

6.3.5　双曲直线和反射266

6.3.6　鲍耶-罗巴切夫斯基公式269

6.3.7　保向运动的三种类型271

6.3.8　把任意保向运动分解为两个反射275

6.3.9　双曲三角形的角盈277

6.3.10　庞加莱圆盘279

6.3.11　庞加莱圆盘中的运动282

6.3.12　半球面模型与双曲空间285

6.4　习题289

第7章　环绕数与拓扑学298

7.1　环绕数298

7.1.1 定义298

7.1.2 “内”是什么意思？299

7.1.3　快速地求出环绕数299

7.2　霍普夫映射度定理301

7.2.1　结果301

7.2.2　环路作为圆周的映射301

7.2.3　解释303

7.3　多项式与辐角原理303

7.4　一个拓扑辐角原理304

7.4.1　用代数方法来数原象个数304

7.4.2　用几何方法来数原象个数306

7.4.3　解析函数在拓扑上有何特殊307

7.4.4　拓扑辐角原理309

7.4.5　两个例子310

7.5　鲁歇定理311

7.5.1　结果311

7.5.2　代数的基本定理312

7.5.3　布劳威尔不动点定理313

7.6　最大值与最小值313

7.6.1　最大模原理313

7.6.2　相关的结果315

7.7　施瓦茨-皮克引理315

7.7.1　施瓦茨引理315

7.7.2　刘维尔定理318

7.7.3　皮克的结果319

7.8　广义辐角原理321

7.8.1　有理函数321

7.8.2　极点与本性奇点323

7.8.3　解释325

7.9　习题326

第8章 复积分：柯西定理334

8.1　引言334

8.2　实积分335

8.2.1　黎曼和335

8.2.2　梯形法则336

8.2.3 误差的几何估计337

8.3　复积分339

8.3.1　复黎曼和339

8.3.2　一个可视化技巧341

8.3.3　一个有用的不等式342

8.3.4　积分法则342

8.4　复反演343

8.4.1　一个圆弧343

8.4.2　一般环路344

8.4.3　环绕数346

8.5　共轭映射347

8.5.1　引言347

8.5.2　用面积来解释347

8.5.3　一般环路349

8.6　幂函数349

8.6.1　沿圆弧的积分349

8.6.2　复反演作为极限情况351

8.6.3　一般回路和形变定理351

8.6.4　定理的进一步推广353

8.6.5　留数353

8.7　指数映射355

8.8　基本定理356

8.8.1　引言356

8.8.2　一个例子356

8.8.3　基本定理357

8.8.4　积分作为原函数359

8.8.5 对数作为积分361

8.9　用参数作计算362

8.10　柯西定理363

8.10.1　一些预备知识363

8.10.2　解释364

8.11　一般的柯西定理366

8.11.1　结果366

8.11.2　解释367

8.11.3　一个更简单的解释368

8.11.4　回路积分的一般公式369

8.12　习题370

第9章　柯西公式及其应用377

9.1　柯西公式377

9.1.1　引言377

9.1.2　第一种解释377

9.1.3　高斯平均值定理378

9.1.4　第二种解释和一般柯西公式379

9.2　无穷可微性和泰勒级数380

9.2.1　无穷可微性380

9.2.2　泰勒级数381

9.3　留数计算383

9.3.1 以极点为中心的罗朗级数383

9.3.2　计算留数的一个公式384

9.3.3　对实积分的应用385

9.3.4　用泰勒级数计算留数387

9.3.5　在级数求和上的应用388

9.4　环形域中的罗朗级数390

9.4.1　一个例子390

9.4.2　罗朗定理391

9.5　习题394

第10章 向量场：物理学与拓扑学398

10.1 向量场398

10.1.1 复函数作为向量场398

10.1.2　物理向量场399

10.1.3　流场和力场400

10.1.4　源和汇402

10.2　环绕数与向量场403

10.2.1　奇点的指数403

10.2.2　庞加莱怎样看指数406

10.2.3　指数定理407

10.3　闭曲面上的流408

10.3.1 庞加莱-霍普夫定理的陈述408

10.3.2　定义曲面上的指数410

10.3.3　庞加莱-霍普夫定理的解释411

10.4　习题413

第11章　向量场与复积分417

11.1　流量与功417

11.1.1　流量417

11.1.2　功419

11.1.3　局部流量和局部功420

11.1.4　散度和旋度的几何形式422

11.1.5　零散度和零旋度向量场423

11.2　从向量场看复积分425

11.2.1　波利亚向量场425

11.2.2　柯西定理427

11.2.3　例子：面积作为流量428

11.2.4　例子：环绕数作为流量429

11.2.5 向量场的局部性态430

11.2.6　柯西公式431

11.2.7　正幂432

11.2.8　负幂和多极子433

11.2.9　无穷远处的多极子435

11.2.10　罗朗级数作为多极子展开435

11.3　复位势436

11.3.1　引言436

11.3.2　流函数437

11.3.3　梯度场439

11.3.4　势函数440

11.3.5　复位势441

11.3.6　例444

11.4　习题445

第12章　流与调和函数448

12.1　调和对偶448

12.1.1 对偶流448

12.1.2　调和对偶451

12.2　共形不变性453

12.2.1　调和性的共形不变性453

12.2.2　拉普拉斯算子的共形不变性454

12.2.3　拉普拉斯算子的意义456

12.3　一个强有力的计算工具457

12.4　回顾复曲率459

12.4.1　调和等势线的几何性质459

12.4.2　调和等势线的曲率460

12.4.3　关于复曲率的进一步计算463

12.4.4　复曲率的其他几何性质464

12.5　绕障碍物的流466

12.5.1 引言466

12.5.2　一个例子466

12.5.3　镜像法470

12.5.4　把一个流映为另一个流476

12.6　黎曼映射定理的物理学478

12.6.1　引言478

12.6.2　外映射和绕障碍物的流479

12.6.3　内映射和偶极子481

12.6.4　内映射、涡旋和源483

12.6.5　一个例子：圆盘的自同构485

12.6.6　格林函数487

12.7　狄里希莱问题491

12.7.1　引言491

12.7.2　施瓦茨的解释492

12.7.3　圆盘的狄里希莱问题494

12.7.4　诺依曼和波歇的解释496

12.7.5　一般的格林公式501

12.8　习题504

参考文献507

译后记514