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第一部分　微积分原理1

1 引言3

2　函数、极限和连续性5

2.1　函数5

2.2　极限6

2.3　连续性8

3　微分学最基本的概念——导数10

3.1　引出导数概念的问题10

3.2　导数概念12

3.3　关于导数的计算14

4　微分学基本定理及其应用16

4.1　拉格朗日中值定理16

4.2　利用导数研究函数19

5　导数应用举例25

6　积分学最基本的概念——定积分33

6.1　引出定积分概念的问题33

6.2　定积分定义35

6.3　定积分的几何意义37

6.4　关于面积公理38

7　关于定积分定义的补充说明40

7.1　定积分定义的各种表述40

7.2　评注与建议45

8　微积分基本定理49

8.1　牛顿－莱布尼茨公式49

8.2　广义斯托克斯公式53

9　定积分应用举例58

9.1　几何应用58

9.2　物理应用58

9.3　定积分在经济学中的应用61

9.4　浦丰小针问题63

10　微积分的基本原理65

10.1　导数与积分的互逆关系65

10.2　微积分的基本原理68

第二部分　微积分的严格的理论基础69

11 引言71

12　集论基础73

12.1　基本概念73

12.2　集代数73

12.3　点集拓扑74

13　无穷集77

13.1　连续统假设77

13.2　悖论78

13.3　公理集论简介80

14　集论对于构建数学的逻辑基础的作用81

14.1　集是各种不同数学结构的基本框架81

14.2　集论语言有助于精确刻画数学概念83

14.3　佐恩引理85

15　关于邻域对应思想（ε-δ语言）89

15.1　牛顿和莱布尼茨89

15.2　对微积分基础的质疑90

15.3　极限的ε-δ定义91

15.4　ε-δ语言的实质92

15.5　邻域对应思想93

16　建立实数系的几种方案94

16.1　从有理数系扩张到实数系的方案94

16.2　确定实数系的公理化方法96

16.3　几种方案的比较99

17　阿基米德性质　实数的十进小数逼近101

17.1　阿基米德性质101

17.2　实数的有限十进小数逼近101

17.3　实数的几何表示103

18　实数理论是微积分的逻辑基础104

18.1　怎样证明？是无理数104

18.2　关于函数的定义107

18.3　关于连续函数的几个重要定理108

18.4　实数系的完备性113

18.5　关于紧性115