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第一部分 高等数学3

第一讲 函数、极限、连续3

1 考试内容与要求3

2 重要公式与结论5

3 典型题型与例题分析7

题型一 函数的概念7

题型二 函数、反函数及其性质9

题型三 求函数极限12

题型四 求数列极限19

题型五 求解含参变量的极限25

题型六 已知极限，求待定参数、函数值、导数及函数26

题型七 无穷小比较28

题型八 判断函数的连续性与间断点的类型29

题型九 综合题32

习题精选一34

习题精选一答案37

第二讲 导数与微分38

1 考试内容与要求38

2 重要公式与结论39

题型一 利用导数定义解题41

3 典型题型与例题分析41

题型二 导数在几何上的应用46

题型三 变限积分求导49

题型四 利用导数公式与运算法则求导53

题型五 综合题58

习题精选二59

习题精选二答案63

第三讲 不定积分65

1 考试内容与要求65

2 不定积分的主要计算方法66

题型一 基本类型67

3 典型题型与例题分析67

题型二 有理函数积分71

题型三 三角有理函数积分72

题型四 简单无理函数积分74

题型五 被积函数含有指数函数、反三角函数的积分75

题型六 分项—分部积分法77

题型七 综合题78

习题精选三81

习题精选三答案82

1 考试内容与要求84

第四讲 定积分与广义积分84

2 重要公式与结论85

3 典型题型与例题分析86

题型一 有关定积分的概念与性质的问题86

题型二 利用基本方法（牛顿-莱布尼茨公式，换元积分法，分部积分法）计算定积分88

题型三 对称区间上的积分92

题型四 涉及变限积分的问题93

题型五 循环计算法97

题型六 化为二重积分计算97

题型七 几类特殊问题97

题型八 广义积分的计算101

题型九 定积分等式的证明104

题型十 定积分不等式的证明107

题型十一　综合题110

习题精选四111

习题精选四答案114

第五讲 中值定理的证明技巧115

1 考试内容与要求115

2 典型题型与例题分析116

题型一 证明存在ξ，使f(ξ)=0，或方程f(x)=0有根116

题型二 证明存在ξ，使f(n)(ξ)=0(n=1,2,…)119

题型三 证明存在ξ，使G(ξ,f(ξ),f′(ξ))=0121

题型四 直接用拉格朗日中值定理或柯西中值定理证明123

题型五 双介值问题，要证存在ξ,η使G(f′(ξ),f′(η),…)=0124

题型六 含有f″（ξ）或更高阶的介值问题126

题型七 有关介值的不等式证明127

题型八 隐含问题128

题型九 综合题131

习题精选五132

习题精选五提示133

题型一 利用微分中值定理证明不等式134

第六讲 不等式证明134

题型二 利用微积分基本公式：f(b)-f(a)=？f′(x)dx证明不等式135

题型三 利用单调性证明不等式136

题型四 利用极值与最值证明不等式139

题型五 利用曲线的凹凸性证明不等式140

题型六 将常数不等式转化为函数不等式证明140

题型七 利用泰勒公式证明不等式141

习题精选六144

习题精选六提示144

1 考试内容与要求145

第七讲 一元微积分的应用145

2 典型题型与例题分析147

题型一 利用导数求曲线的切线、法线方程147

题型二 利用导数证明函数恒等式147

题型三 利用导数判别函数的单调性148

题型四 利用导数研究函数的极值与最值149

题型五 函数作图150

题型六 定积分的应用152

题型七 综合题156

习题精选七160

习题精选七答案或提示162

第八讲 常微分方程164

1 考试内容与要求164

2 基本方法166

3 典型题型与例题分析168

题型一 可化为一阶线性方程的求解168

题型二 可化为变量分离方程的求解169

题型三 可降阶的高阶方程171

题型四 高阶线性方程和可化为二阶常系数线性方程的求解172

题型五 综合题与应用题174

习题精选八答案177

习题精选八177

第九讲 多元函数微分学179

1 考试内容与要求179

2 重要公式与结论182

3 典型题型与例题分析182

题型一 基本概念题182

题型二 求复合函数的偏导数或全微分185

题型三 求隐函数的偏导数或全微分187

题型四 已知偏导数，反求函数关系190

题型五 多元函数的极值192

题型六 求多元函数的梯度或方向导数196

题型七 多元函数微分学的几何应用197

习题精选九198

习题精选九答案200

第十讲 多元函数积分学201

1 考试内容与要求201

2 重要公式与结论203

3 典型题型与例题分析204

题型一 二重积分的基本计算方法204

题型二 利用重积分的对称性简化计算206

题型三 交换积分次序208

题型四 几类特殊重积分的计算209

题型五 直角坐标系下计算三重积分210

题型六 利用“先二后一”法（适用于旋转体）210

题型七 利用柱面坐标（适用于含柱体的情形）211

题型八 利用球面坐标（适用于含球面的情形）211

题型九 综合题212

习题精选十215

习题精选十答案或提示216

1 考试内容与要求217

第十一讲 无穷级数217

2 重要公式与结论220

3 典型题型与例题分析221

题型一 判定常数项级数的收敛性221

题型二 求函数项级数的收敛域、幂级数的收敛半径和收敛区间224

题型三 求常数项级数的和及函数项级数的和函数227

题型四 幂级数的展开228

题型五 傅里叶级数的展开229

题型六 综合题231

习题精选十一232

习题精选十一答案234

第十二讲 曲线、曲面积分及场论初步236

1 考试内容与要求236

2 重要公式与结论238

3 典型题型与例题分析239

题型一 对弧长的曲线积分的计算方法240

题型二 对坐标轴的曲线积分的计算方法241

题型三 对面积的曲面积分的计算方法245

题型四 对坐标的曲面积分的计算方法246

题型五 综合题249

题型六 求向量场的散度或旋度251

习题精选十二252

习题精选十二答案254

第十三讲 向量代数与空间解析几何256

1 考试内容与要求256

2 典型题型与例题分析259

题型一 与向量代数有关的计算问题259

题型二 求平面与直线方程260

题型三 讨论平面与直线的位置关系261

题型四 求对称点、投影点及投影曲线263

习题精选十三264

题型五 综合题264

习题精选十三答案265

第二部分 线性代数269

第一讲 行列式269

1 考试内容与要求269

2 重要公式与结论269

3 典型题型与例题分析270

题型一 利用行列式的性质与行（列）展开定理计算行列式270

题型二 按行（列）展开公式求代数余子式273

题型三 利用多项式分解因式计算行列式274

题型四 抽象行列式的计算或证明275

题型五 n阶行列式的计算277

题型六 利用特征值计算行列式280

题型七 综合题280

习题精选一281

习题精选一答案283

第二讲 矩阵286

1 考试内容与要求286

2 重要公式与结论288

题型一 求数值型矩阵的逆矩阵289

3 典型题型与例题分析289

题型二 A为抽象矩阵，讨论A的可逆性292

题型三 考查矩阵运算的特殊性293

题型四 解矩阵方程295

题型五 利用伴随矩阵A进行计算或证明297

题型六 有关初等矩阵的问题300

题型七 求矩阵的秩300

习题精选二303

习题精选二答案305

1 考试内容与要求309

第三讲 向量309

2 重要公式与结论311

3 典型题型与例题分析312

题型一 判定向量组的线性相关性312

题型二 把一个向量用一组向量线性表示317

题型三 求向量组的秩323

题型四 有关矩阵秩的命题327

题型五 有关向量空间的基本概念题328

题型六 综合题329

习题精选三331

习题精选三答案333

第四讲 线性方程组336

1 考试内容与要求336

2 重要公式与结论337

3 典型题型与例题分析338

题型一 基本概念题（解的判定、性质、结构）338

题型二 含有参数的线性方程组的求解341

题型三 抽象线性方程组求解348

题型四 讨论两个方程组的公共解350

题型五 讨论两个方程组解之间的关系352

题型六 已知方程组的解，反求系数矩阵或系数矩阵中的参数353

题型七 有关基础解系的讨论355

题型八 有关AB=0的应用358

题型九 综合题358

习题精选四363

习题精选四答案366

第五讲 特征值 特征向量369

1 考试内容与要求369

2 重要公式与结论370

3 典型题型与例题分析371

题型一 数值型矩阵特征值、特征向量的计算371

题型二 计算抽象矩阵的特征值373

题型三 特征值、特征向量的逆问题376

题型四 矩形相似与对角化的讨论381

题型五 特征值、特征向量与相似矩阵的应用问题386

题型六 有关特征值、特征向量的证明问题390

题型七 综合题392

习题精选五395

习题精选五答案397

第六讲 二次型399

1 考试内容与要求399

题型一 基本概念题（二次型的矩阵、秩、正负惯性指数）400

2 重要公式与结论400

3 典型题型与例题分析400

题型二 化二次型为标准形402

题型三 有关正定二次型（正定矩阵）命题的证明407

题型四 综合题411

习题精选六413

习题精选六答案415

第三部分 概率论与数理统计419

第一讲 随机事件与概率419

1 考试内容与要求419

2 重要公式与结论421

3 典型题型与例题分析423

题型一 事件的表示和运算423

题型二 有关概率基本性质的命题424

题型三 古典概型与几何概型的概率计算427

题型四 事件独立性的命题430

题型五 条件概率与积事件概率的计算432

题型六 全概率公式和贝叶斯公式概型435

题型七 伯努利试验438

题型八 综合题439

习题精选一441

习题精选一答案444

第二讲 随机变量及其分布446

1 考试内容与要求446

2 重要公式与结论447

3 典型题型与例题分析449

题型一 有关随机变量与分布的基本概念题449

题型二 求随机变量的分布律与分布函数452

题型三 已知事件发生的概率，反求事件中的未知参数459

题型四 利用常见分布求相关事件的概率460

题型五 求随机变量函数的分布461

题型六 综合题465

习题精选二468

习题精选二答案470

第三讲 多维随机变量及其分布472

1 考试内容与要求472

2 重要公式与结论473

3 典型题型与例题分析475

题型一 联合分布、边缘分布与条件分布的计算475

题型二 已知部分分布律或边缘分布，求联合分布律或相关参数481

题型三 利用已知分布求相关事件的概率482

题型四 随机变量函数的分布484

题型五 随机变量的独立性的讨论488

题型六 综合题489

习题精选三490

习题精选三答案492

第四讲 随机变量的数字特征495

1 考试内容与要求495

2 重要公式与结论497

3 典型题型与例题分析497

题型一 期望和方差的计算497

题型二 随机变量函数的数学期望与方差501

题型三 有关协方差、相关系数、独立性与相关性的命题508

题型四 有关数字特征的应用题513

题型五 综合题515

习题精选四517

习题精选四答案519

第五讲 大数定律和中心极限定理520

1 考试内容与要求520

2 典型题型与例题分析521

题型一 有关切比雪夫不等式的命题521

题型二 有关大数定律的命题522

题型三 有关中心极限定理的命题524

题型四 综合题527

习题精选五528

习题精选五答案529

第六讲 数理统计的基本概念530

1 考试内容与要求530

2 重要公式与结论531

3 典型题型与例题分析532

题型一 求样本容量n，或与样本均值？和样本方差S2有关的概率532

题型二 求统计量的数字特征533

题型三 求统计量的分布535

习题精选六537

习题精选六答案538

第七讲 参数估计539

1 考试内容与要求539

2 重要公式与结论540

3 典型题型与例题分析540

题型一 求矩法估计和最大似然估计540

题型二 估计量评选标准的讨论547

题型三 参数的区间估计549

题型四 综合题551

习题精选七552

习题精选七答案553

第八讲 假设检验555

1 考试内容与要求555

2 重要公式与结论556

3 典型题型与例题分析556

题型一 正态总体未知参数的假设检验556

题型二 有关两类错误的命题557

习题精选八559

习题精选八答案560