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1 数值分析基础概念／备用数学材料1

【基本教学内容】1

1.1关于数值分析1

1.2误差基本概念与误差分析初步2

1.2.1绝对误差／相对误差2

1.2.2有效数字（位数）3

1.2.3截断误差／舍入误差／初始数据误差5

1.2.4函数计算的误差分析6

1.3病态问题与条件数／数值稳定性8

1.3.1病态问题与条件数8

1.3.2算法数值稳定性9

1.4数值算法设计与实现11

【备用数学材料】14

1.5数学分析中的几个重要概念14

1.5.1Taylor（泰勒）公式14

1.5.2大O记号14

1.5.3上确界和下确界15

1.5.4函数序列的一致收敛性16

1.6几种重要矩阵及相关性质17

1.6.1对称正定矩阵17

1.6.2正交矩阵／相似矩阵17

1.6.3初等矩阵与初等变换18

1.6.4矩阵特征值／矩阵谱半径20

1.7线性空间概要23

1.7.1线性空间23

1.7.2范数／赋范线性空间25

1.7.3内积／内积空间25

1.8正交多项式28

1.8.1正交多项式及正交化方法28

1.8.2Legendre（勒让德）多项式32

1.8.3Chebyshev（切比雪夫）多项式（第一类）33

1.8.4其他正交多项式34

1.9向量范数／矩阵范数35

1.9.1向量范数35

1.9.2矩阵范数36

1.10附录：计算机中数的表示和舍入误差39

1.10.1定点表示与定点数39

1.10.2浮点表示与浮点数39

1.10.3单精度与双精度／舍入误差40

1.10.4计算机算术运算规则41

习题142

2 函数插值方法45

【基本教学内容】45

2.1插值问题的提法／多项式插值的存在惟一性45

2.2Lagrange插值公式46

2.2.1线性插值／二次插值47

2.2.2n次Lagrange插值48

2.2.3余项公式49

2.3带导插值：Hermite插值公式51

2.3.1带导插值的提法51

2.3.2Hermite插值公式及其余项公式52

2.3.3Hermite插值的两种常用情形53

2.4分段低次插值55

2.4.1Runge（龙格）现象55

2.4.2分段线性插值56

2.4.3分段三次Hermite插值59

【较深入内容或参考材料】60

2.5均差与差分／Newton插值公式60

2.5.1均差及其性质61

2.5.2Newton插值公式及其余项63

2.5.3重节点均差与Newton型Hermite插值公式66

2.5.4差分及其性质71

2.5.5等距节点的Newton插值公式73

2.6样条函数及三次样条插值74

2.6.1基本概念75

2.6.2三弯矩插值法76

2.6.3三转角插值法80

2.7B样条插值82

2.7.1m次样条函数空间82

2.7.2B样条基函数84

2.7.3B样条函数的性质84

2.8二元函数插值（初步）86

2.8.1矩形区域上的二元函数插值86

2.8.2三角形区域上的线性插值88

习题289

3 曲线拟合／连续函数逼近94

【基本教学内容】94

3.1拟合问题与逼近问题（概述）94

3.2曲线拟合的（线性）最小二乘法95

3.2.1最小二乘拟合问题的提法95

3.2.2最小二乘解的解法：法方程96

3.3最小二乘的相关问题及例100

3.3.1指数模型与双曲线模型的线性化拟合100

3.3.2算术平均：最小二乘意义下误差最小103

3.3.3超定方程组（矛盾方程组）的最小二乘解103

3.3.4法方程Aα=d矩阵形式ATAα=ATd104

3.3.5多元最小二乘拟合106

3.4基于正交多项式的曲线拟合106

【较深入内容或参考材料】109

3.5连续函数的最佳平方逼近109

3.5.1最佳平方逼近问题的提法109

3.5.2最佳平方逼近的解法：法方程110

3.5.3基于正交函数的最佳平方逼近112

3.6连续函数的最佳一致逼近115

3.6.1一致逼近问题的提法115

3.6.2最佳一致逼近多项式的求法116

3.6.3最佳一致线性逼近118

3.6.4Remes算法119

3.7周期函数逼近与快速Fourier变换120

3.7.1最佳平方逼近与三角插值120

3.7.2快速Fourier变换122

习题3125

4 数值微分／数值积分129

【基本教学内容】129

4.1微积分计算存在的问题／数值积分的基本概念129

4.1.1微积分计算存在的问题129

4.1.2数值积分的基本形式129

4.1.3插值型求积公式130

4.1.4代数精度的概念131

4.2Newton-Cotes型求积公式：梯形公式与Simpson公式132

4.2.1Newton-Cotes型公式的一般形式132

4.2.2梯形公式与Simpson公式及其余项133

4.2.3Newton-Cotes型公式的数值稳定性134

4.2.4复化梯形公式与复化Simpson公式135

4.2.5一个典型例子136

4.3Gauss型求积公式138

4.3.1Gauss型公式138

4.3.2Gauss-Legendre求积公式139

4.3.3Gauss-Chebyshev求积公式141

4.3.4Gauss型公式的余项、稳定性、收敛性及其他142

4.4数值微分（公式）145

4.4.1基于Taylor展开的数值微分公式145

4.4.2基于插值的数值微分公式146

【较深入内容或参考材料】149

4.5外推原理及其在数值微积分中的应用149

4.5.1Richardson外推原理149

4.5.2基于外推算法的数值微分151

4.5.3数值积分的Romberg算法152

4.6自适应Simpson算法154

4.7振荡函数积分／广义积分157

4.7.1振荡函数积分计算157

4.7.2广义积分计算159

4.8重积分计算的基本方法161

4.8.1多重积分化为单重累次积分161

4.8.2重积分复化求积公式162

4.8.3重积分Gauss求积公式164

习题4165

5 线性代数方程组数值解法——直接法169

【基本教学内容】169

5.1线性方程组的一般形式／直接法的基本过程169

5.1.1n阶线性代数方程组的一般形式169

5.1.2上三角方程组与回代过程170

5.1.3下三角方程组与前推过程170

5.2Gauss消去过程／列主元Gauss消去法171

5.2.1Gauss消去过程171

5.2.2顺序Gauss消去法174

5.2.3列主元Gauss消去法175

5.2.4列主元Gauss消去法的计算机算法176

5.3矩阵三角分解：解方程组的直接三角分解法178

5.3.1矩阵三角分解178

5.3.2解方程组的直接三角分解法180

5.4追赶法／平方根法183

5.4.1解三对角方程组的追赶法183

5.4.2对称正定矩阵的Cholesky分解与平方根法187

【较深入内容或参考材料】190

5.5Gauss-Jordan消去法与求逆矩阵的计算机算法190

5.5.1Gauss-Jordan消去法190

5.5.2求逆矩阵的计算机算法192

5.6改进的平方根法及其计算机算法194

5.6.1改进的平方根法194

5.6.2改进的平方根法的计算机算法197

5.7大型带状矩阵方程组及其解法198

5.7.1大型带状矩阵方程组198

5.7.2直接三角分解法解大型带状矩阵方程组199

5.7.3改进的平方根法解大型对称正定带状方程组201

5.8直接法误差分析202

5.8.1扰动误差分析：条件数与病态方程组202

5.8.2事后误差估计205

5.8.3舍入误差分析206

5.8.4解病态方程组的迭代改善算法208

习题5208

6 线性代数方程组数值解法——迭代法213

【基本教学内容】213

6.1迭代法：基本概念和基本迭代公式213

6.2Jacobi迭代法／Gauss-Seidel迭代法214

6.2.1Jacobi迭代公式（格式）214

6.2.2Gauss-Seidel迭代公式（格式）215

6.2.3Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法216

6.2.4Gauss-Seidel迭代法的计算机算法217

6.3迭代法收敛性理论218

6.3.1收敛性基本定理218

6.3.2其他定理220

6.3.3收敛速度问题223

【较深入内容或参考材料】224

6.4超松弛迭代法／块迭代法224

6.4.1逐次超松弛迭代法（SOR）224

6.4.2超松弛迭代法的收敛性226

6.4.3块迭代法227

6.5共轭梯度法228

6.5.1变分原理228

6.5.2最速下降法229

6.5.3共轭梯度法230

6.6广义极小残量法232

6.6.1Galerkin原理232

6.6.2Arnoldi过程233

6.6.3广义极小残量（GMRES）方法234

习题6235

7 非线性方程与方程组的数值解法239

【基本教学内容】239

7.1一元非线性方程求根的基本概念与主要思想239

7.1.1基本概念239

7.1.2求根的主要思想240

7.2二分法（对半法）240

7.3不动点迭代法及其收敛性理论242

7.3.1不动点迭代法242

7.3.2收敛性基本定理244

7.3.3局部收敛性246

7.3.4收敛速度与收敛阶247

7.3.5不动点迭代法的计算机算法248

7.4Newton迭代法249

7.4.1Newton迭代公式249

7.4.2Newton迭代法的收敛性（含重根的迭代改善）250

7.4.3Newton迭代法用于求方根252

7.4.4Newton迭代法的计算机算法／Newton下山法253

7.4.5离散Newton迭代法——割线法253

【较深入内容或参考材料】254

7.5收敛加速技术研究254

7.5.1Aitken加速方案255

7.5.2Steffensen迭代法256

7.6非线性方程组及其不动点迭代法257

7.6.1非线性方程组257

7.6.2非线性方程组的不动点迭代法258

7.6.3不动点迭代法的收敛性258

7.7非线性方程组的Newton迭代法与拟Newton迭代法260

7.7.1Newton法260

7.7.2拟Newton法262

7.8延拓法265

习题7268

8 矩阵特征值计算271

【基本教学内容】271

8.1矩阵特征值和特征向量271

8.2乘幂法271

8.2.1求模最大的特征值的乘幂法271

8.2.2乘幂法的加速方法275

8.2.3求模最小的特征值的反幂法276

8.3求对称矩阵特征值的Jacobi（雅可比）法278

【较深入内容或参考材料】283

8.4Householder方法283

8.5QR方法288

8.5.1基本的QR方法288

8.5.2带原点平移的QR方法289

习题8294

9 常微分方程数值解法296

【基本教学内容】296

9.1常微分方程定解问题／数值解的概念296

9.1.1基本概念296

9.1.2初值问题的基本形式297

9.1.3初值问题解的存在惟一性与Lipschitz条件298

9.1.4数值问题与数值解298

9.2初值问题的Euler方法／局部截断误差299

9.2.1Euler方法299

9.2.2隐式Euler公式／梯形公式300

9.2.3改进的Euler公式301

9.2.4局部截断误差／方法的阶302

9.3初值问题的Runge-Kutta方法304

9.3.12阶Runge-Kutta公式304

9.3.23阶／4阶Runge-Kutta公式306

9.3.3进一步讨论：自动选步长算法308

9.4单步法的收敛性与稳定性309

9.4.1单步法的收敛性309

9.4.2单步法的绝对稳定性310

【较深入内容或参考材料】313

9.5线性多步法及其预测-校正格式313

9.5.1线性多步法的一般形式313

9.5.2线性多步法的构建314

9.5.3几个重要的线性多步法316

9.5.4预测-校正计算格式318

9.6线性多步法的收敛性与稳定性320

9.6.1常系数线性差分方程320

9.6.2收敛性321

9.6.3绝对稳定性323

9.71阶方程组与高阶方程初值问题324

9.8刚性微分方程组问题（简介）326

9.9边值问题：差分法／打靶法328

9.9.1两点边值问题概述328

9.9.2差分法329

9.9.3打靶法332

习题9335

10 偏微分方程的数值方法339

【基本教学内容】339

10.1引言339

10.2椭圆型方程的差分方法340

10.2.1差分逼近的基本概念340

10.2.22阶椭圆型方程边值问题的差分格式342

10.2.3边界条件的处理345

10.2.4极值原理与差分格式的收敛性347

10.3抛物型方程的差分格式350

10.3.1一维抛物型方程的差分格式351

10.3.2差分格式的稳定性与收敛性355

10.4双曲型方程的差分格式360

10.4.11阶双曲型方程的差分格式360

10.4.22阶双曲型方程的差分格式364

【较深入内容或参考材料】366

10.5谱方法366

10.6有限元方法简介371

10.6.1变分问题371

10.6.2常微分方程边值问题372

10.6.3椭圆方程边值问题的有限元解法379

习题10385

习题参考答案389

参考文献411