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第1章 绪论1

1.1 误差与运算误差分析1

1.1.1 数值计算中误差的不可避免性1

1.1.2 绝对误差与相对误差2

1.1.3 有效数字4

1.1.4 运算误差分析7

1.2 关于算法12

1.2.1 算法的基本概念12

1.2.2 数值型算法的特点13

1.2.3 算法设计基本方法15

1.2.4 算法的复杂度27

1.2.5 数值型算法的稳定性31

1.3 习题35

第2章 矩阵与线性方程组37

2.1 一般线性方程组的直接解法37

2.1.1 高斯消去法38

2.1.2 选主元40

2.1.3 高斯-约当消去法48

2.2 带型方程组54

2.2.1 三对角方程组54

2.2.2 一般带型方程组58

2.3 线性方程组的迭代解法65

2.3.1 简单迭代法65

2.3.2 高斯-赛德尔迭代法68

2.3.3 松弛法71

2.4 共轭梯度法71

2.4.1 几个基本概念72

2.4.2 共轭梯度法73

2.5 矩阵分解80

2.5.1 矩阵的三角分解80

2.5.2 矩阵的QR分解86

2.6 矩阵求逆94

2.6.1 原地工作的矩阵求逆95

2.6.2 全选主元矩阵求逆99

2.7 托伯利兹系统107

2.7.1 托伯利兹矩阵求逆的快速算法107

2.7.2 求解托伯利兹型线性方程组的递推算法115

2.8 习题120

第3章 矩阵特征值123

3.1 计算绝对值最大的特征值的乘幂法123

3.2 求对称矩阵特征值的雅可比方法126

3.3 QR方法求一般实矩阵的全部特征值138

3.3.1 QR方法的基本思想138

3.3.2 化一般实矩阵为上H矩阵139

3.3.3 双重步QR方法求矩阵特征值142

3.4 习题151

第4章 非线性方程与方程组152

4.1 方程求根的基本思想152

4.1.1 方程求根的基本过程152

4.1.2 对分法求方程的实根154

4.1.3 简单迭代法157

4.2 埃特金迭代法161

4.3 牛顿迭代法与插值法164

4.3.1 牛顿迭代法164

4.3.2 插值法169

4.4 控制迭代过程结束的条件172

4.5 QR方法求多项式方程的全部根174

4.6 非线性方程组的求解176

4.6.1 牛顿法177

4.6.2 拟牛顿法179

4.7 习题184

第5章 代数插值法186

5.1 插值的基本概念186

5.2 拉格朗日插值法188

5.2.1 拉格朗日插值多项式的构造188

5.2.2 插值多项式的余项197

5.2.3 插值的逼近性质199

5.3 埃特金逐步插值法200

5.4 牛顿插值法208

5.4.1 差商及其牛顿插值公式208

5.4.2 差分与等距结点插值公式212

5.5 埃尔米特插值法215

5.6 样条插值法219

5.6.1 样条函数219

5.6.2 三次样条插值函数的构造219

5.7 习题240

第6章 函数逼近与拟合243

6.1 正交多项式243

6.1.1 正交多项式的构造244

6.1.2 切比雪夫多项式246

6.1.3 勒让德多项式252

6.1.4 其他常用的多项式253

6.2 最佳一致逼近多项式255

6.2.1 一致逼近的基本概念255

6.2.2 最佳一致逼近多项式256

6.2.3 里米兹算法259

6.3 最佳均方逼近多项式264

6.3.1 均方逼近的基本概念264

6.3.2 最佳均方逼近多项式264

6.4 最小二乘曲线拟合266

6.4.1 最小二乘曲线拟合的基本概念266

6.4.2 用正交多项式作最小二乘曲线拟合271

6.5 习题276

第7章 数值积分与数值微分278

7.1 插值求积公式278

7.2 变步长求积法282

7.2.1 变步长梯形求积法282

7.2.2 变步长辛卜生求积法285

7.3 龙贝格求积法288

7.4 高斯求积法292

7.4.1 代数精度的概念292

7.4.2 什么是高斯求积法293

7.4.3 几种常用的高斯求积公式296

7.5 高振荡函数的求积法302

7.6 数值微分310

7.7 习题311

第8章 常微分方程数值解313

8.1 常微分方程数值解的基本思想313

8.2 欧拉方法316

8.2.1 基本公式316

8.2.2 误差分析318

8.2.3 步长的自动选择319

8.2.4 改进的欧拉公式320

8.3 龙格-库塔法321

8.4 一阶微分方程组与高阶微分方程324

8.4.1 一阶微分方程组324

8.4.2 高阶微分方程336

8.5 线性多步法337

8.5.1 阿当姆斯方法338

8.5.2 哈明方法344

8.6 常微分方程数值解法的相容性、收敛性与稳定性351

8.7 习题353

第9章 连分式及其新计算法355

9.1 连分式355

9.1.1 连分式的基本概念355

9.1.2 连分式的主要性质358

9.2 函数连分式361

9.2.1 函数连分式的基本概念361

9.2.2 函数连分式的主要性质362

9.2.3 函数连分式的计算363

9.3 变换级数为连分式365

9.4 连分式插值法367

9.4.1 连分式插值的基本概念367

9.4.2 连分式插值函数的构造367

9.4.3 连分式逐步插值373

9.5 方程求根的连分式解法374

9.6 一维积分的连分式解法378

9.7 常微分方程初值问题的连分式解法383

9.8 习题392

附录 各章习题部分参考答案394

参考文献400