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1 函数1

1.1 集合1

1.1.1 集合的概念1

1.1.2 集合的运算1

1.1.3 区间和邻域2

习题1.13

1.2 函数3

1.2.1 函数的概念3

1.2.2 反函数5

习题1.25

1.3 函数的基本性质6

1.3.1 函数的奇偶性6

1.3.2 函数的周期性6

1.3.3 函数的单调性7

1.3.4 函数的有界性7

习题1.38

1.4 初等函数8

1.4.1 基本初等函数8

1.4.2 复合函数12

1.4.3 初等函数13

习题1.413

1.5 函数关系的建立 双曲函数13

1.5.1 函数关系的建立13

1.5.2 双曲函数14

习题1.516

总习题一16

2 极限与连续18

2.1 数列的极限18

2.1.1 数列的概念与性质18

2.1.2 数列的极限19

2.1.3 数列极限的性质20

习题2.121

2.2 函数的极限21

2.2.1 函数极限的定义21

2.2.2 函数极限的性质25

习题2.225

2.3 无穷小与无穷大26

2.3.1 无穷小26

2.3.2 无穷大27

习题2.329

2.4 极限的运算法则29

2.4.1 极限的四则运算法则29

2.4.2 复合函数的极限运算法则31

习题2.432

2.5 极限存在准则 两个重要极限32

2.5.1 夹逼准则32

2.5.2 重要极限？sin x/x＝133

2.5.3 单调有界准则35

2.5.4 重要极限？（1＋1/x）x＝e35

2.5.5 连续复利37

习题2.537

2.6 无穷小的比较38

习题2.639

2.7 函数的连续性40

2.7.1 函数的连续性40

2.7.2 函数的间断点41

2.7.3 连续函数的运算与初等函数的连续性43

习题2.745

2.8 闭区间上连续函数的性质46

2.8.1 最大值和最小值定理与有界性46

2.8.2 零点定理与介值定理47

习题2.848

总习题二48

3 导数与微分50

3.1 导数的概念50

3.1.1 两个引例50

3.1.2 导数的定义51

3.1.3 导数的几何意义55

3.1.4 函数的可导性与连续性的关系55

习题3.156

3.2 函数的求导法则与求导公式57

3.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则57

3.2.2 反函数的求导法则59

3.2.3 复合函数的求导法则60

3.2.4 基本求导法则与导数公式61

习题3.263

3.3 高阶导数64

习题3.367

3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数67

3.4.1 隐函数的导数67

3.4.2 由参数方程所确定的函数的导数69

习题3.471

3.5 函数的微分72

3.5.1 微分的定义72

3.5.2 微分的几何意义74

3.5.3 基本初等函数的微分公式与微分的运算法则75

3.5.4 微分在近似计算中的应用76

习题3.578

总习题三79

4 中值定理及导数应用81

4.1 中值定理81

4.1.1 罗尔定理81

4.1.2 拉格朗日中值定理82

4.1.3 柯西中值定理85

习题4.186

4.2 洛必达法则87

4.2.1 0/0和∞/∞未定式的极限87

4.2.2 其他未定式的极限89

习题4.291

4.3 函数的单调性与极值91

4.3.1 函数单调性的判别法91

4.3.2 函数的极值93

习题4.397

4.4 函数的最大值与最小值98

习题4.499

4.5 曲线的凹凸性及函数图形的描绘100

4.5.1 曲线的凹凸性及拐点100

4.5.2 曲线的渐近线103

4.5.3 函数图形的描绘104

习题4.5106

4.6 泰勒公式107

习题4.6110

4.7 弧微分 曲率110

4.7.1 弧微分110

4.7.2 曲率111

习题4.7115

总习题四115

5 不定积分117

5.1 不定积分的概念和性质117

5.1.1 原函数与不定积分的概念117

5.1.2 不定积分的几何意义118

5.1.3 基本积分表118

5.1.4 不定积分的性质119

习题5.1121

5.2 换元积分法121

5.2.1 第一换元积分法（凑微分法）121

5.2.2 第二换元积分法125

习题5.2129

5.3 分部积分法129

习题5.3132

5.4 有理函数的不定积分133

5.4.1 有理函数与有理函数的不定积分133

5.4.2 三角函数有理式的不定积分135

习题5.4136

总习题五136

6 定积分138

6.1 定积分的概念138

6.1.1 定积分概念产生的背景138

6.1.2 定积分的定义139

6.1.3 定积分的几何意义141

习题6.1141

6.2 定积分的性质142

习题6.2144

6.3 微积分基本公式144

6.3.1 积分上限的函数及其导数145

6.3.2 微积分基本公式146

习题6.3147

6.4 定积分的计算148

6.4.1 定积分的换元积分法148

6.4.2 定积分的分部积分法151

习题6.4153

6.5 广义积分与Г函数153

6.5.1 无穷限的广义积分153

6.5.2 无界函数的广义积分155

6.5.3 Г函数156

习题6.5157

6.6 定积分的应用157

6.6.1 定积分的元素法158

6.6.2 平面图形的面积159

6.6.3 平面曲线的弧长162

6.6.4 旋转体的体积与侧面积163

6.6.5 平行截面面积为已知的立体的体积164

6.6.6 定积分在物理上的应用165

习题6.6167

总习题六168

7 多元函数微分学171

7.1 空间解析几何简介171

7.1.1 空间直角坐标系171

7.1.2 空间两点间的距离172

7.1.3 n维空间172

7.1.4 空间曲面及其方程173

习题7.1176

7.2 多元函数的基本概念176

7.2.1 平面点集176

7.2.2 二元函数的概念177

7.2.3 二元函数的极限与连续178

7.2.4 n元函数的概念180

习题7.2180

7.3 偏导数180

7.3.1 偏导数的定义180

7.3.2 偏导数的几何意义及函数连续性与可偏导性的关系182

7.3.3 高阶偏导数183

习题7.3183

7.4 全微分184

7.4.1 全微分的定义184

7.4.2 函数可微分的条件184

7.4.3 微分在近似计算中的应用186

习题7.4187

7.5 复合函数与隐函数微分法187

7.5.1 复合函数的微分法187

7.5.2 隐函数的微分法190

习题7.5191

7.6 多元函数的极值问题191

7.6.1 多元函数极值192

7.6.2 条件极值与拉格朗日乘数法194

习题7.6197

总习题七198

8 二重积分200

8.1 二重积分的概念与性质200

8.1.1 二重积分的概念200

8.1.2 二重积分的性质202

习题8.1203

8.2 二重积分的计算203

8.2.1 在直角坐标系下计算二重积分203

8.2.2 在极坐标系下计算二重积分207

8.2.3 广义二重积分210

习题8.2211

总习题八212

9 无穷级数215

9.1 常数项级数的概念和性质215

9.1.1 常数项级数的概念215

9.1.2 级数的基本性质218

习题9.1221

9.2 正项级数的审敛法221

习题9.2227

9.3 任意项级数及其审敛法228

9.3.1 交错级数的收敛性228

9.3.2 任意项级数的绝对收敛与条件收敛229

习题9.3231

9.4 幂级数231

9.4.1 函数项级数的一般概念231

9.4.2 幂级数及其收敛性232

9.4.3 幂级数的运算性质237

习题9.4238

9.5 函数展开成幂级数239

9.5.1 泰勒（Taylor）级数239

9.5.2 函数展开成幂级数的方法241

习题9.5246

9.6 函数的幂级数展开式的应用246

9.6.1 函数值的近似计算246

9.6.2 欧拉公式248

习题9.6249

总习题九249

10 常微分方程252

10.1 常微分方程的基本概念252

习题10.1254

10.2 一阶微分方程255

10.2.1 可分离变量的微分方程255

10.2.2 齐次方程256

10.2.3 一阶线性微分方程258

10.2.4 贝努利方程260

习题10.2261

10.3 可降阶的二阶微分方程262

10.3.1 y″＝f（x）型的微分方程262

10.3.2 y″＝f（x，y′）型的微分方程262

10.3.3 y″＝f（y，y′）型的微分方程263

习题10.3264

10.4 二阶线性微分方程解的结构264

习题10.4267

10.5 二阶常系数线性微分方程267

10.5.1 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法267

10.5.2 二阶常系数非齐次线性微分方程及其解法269

习题10.5275

10.6 微分方程的应用举例275

习题10.6279

总习题十279

附录 习题参考答案与提示281

参考文献297