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第0章 预备知识1

0.1 极坐标系1

0.1.1 绘制极坐标中的点1

0.1.2 极坐标与直角坐标之间的转换2

0.2 复数3

0.2.1 复数的定义5

0.2.2 复平面6

0.2.3 绝对值、共轭和距离6

0.2.4 复数的极坐标形式7

第1章 微积分基础知识8

1.1 集合与函数8

1.1.1 集合及运算9

1.1.2 映射与函数13

1.1.3 函数的基本性质17

1.1.4 复合函数19

1.1.5 初等函数及双曲函数20

1.1.6 模型化真实的世界23

习题1.127

1.2 数列极限31

1.2.1 数列31

1.2.2 数列的收敛性33

1.2.3 数列极限的求法41

习题1.245

1.3 函数的极限47

1.3.1 速度与变化率48

1.3.2 函数极限的概念51

1.3.3 函数极限的性质与运算法则54

1.3.4 两个重要极限57

习题1.361

1.4 无穷小与无穷大量63

1.4.1 无穷小量及其阶63

1.4.2 无穷大量67

习题1.468

1.5 连续函数69

1.5.1 连续函数和间断点69

1.5.2 连续函数的运算及初等函数的连续性74

1.5.3 闭区间上连续函数的性质76

习题1.580

第2章 导数和微分83

2.1 导数的定义83

2.1.1 引例83

2.1.2 导数定义84

2.1.3 导数的几何意义87

2.1.4 函数连续性和可导性的关系88

习题2.190

2.2 函数的求导法则92

2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则92

2.2.2 反函数的求导法则95

2.2.3 复合函数求导法则96

2.2.4 基本初等函数的求导法则99

习题2.2101

2.3 高阶导数104

习题2.3107

2.4 隐函数和参数函数的求导法则，相对变化率109

2.4.1 隐函数的求导法则109

2.4.2 由参数方程所确定的函数的求导方法111

2.4.3 相对变化率113

习题2.4116

2.5 函数的微分118

2.5.1 微分的意义118

2.5.2 微分的几何意义119

2.5.3 基本初等函数的求导公式120

习题2.5122

2.6 微分在近似计算中的应用123

习题2.6124

第3章 微分中值定理与导数的应用126

3.1 中值定理126

3.1.1 罗尔定理126

3.1.2 拉格朗日中值定理129

3.1.3 柯西中值定理133

习题3.1134

3.2 洛比达法则136

习题3.2142

3.3 泰勒定理144

3.3.1 泰勒定理144

3.3.2 泰勒定理的应用148

习题3.3151

3.4 函数的单调性与凹凸性152

3.4.1 函数的单调性152

3.4.2 函数的凹凸性154

习题3.4158

3.5 函数的极值与最大值和最小值160

3.5.1 函数的极值160

3.5.2 最大值和最小值问题163

习题3.5166

3.6 函数图形的描绘168

习题3.6171

第4章 不定积分172

4.1 不定积分的概念和性质172

4.1.1 原函数与不定积分172

4.1.2 不定积分的性质173

习题4.1175

4.2 换元积分法176

4.2.1 第一类换元法177

4.2.2 第二类换元法181

习题4.2185

4.3 分部积分法187

习题4.3194

4.4 有理函数的不定积分196

4.4.1 有理函数的预备知识196

4.4.2 有理函数的不定积分199

4.4.3 不能表示为初等函数的不定积分202

习题4.4202

第5章 定积分203

5.1 定积分的概念和性质203

5.1.1 实例203

5.1.2 定积分的定义207

5.1.3 定积分的性质209

习题5.1214

5.2 微积分基本定理215

变速直线运动的位移函数与速度函数的联系215

习题5.2220

5.3 定积分中的换元法与分部积分法223

5.3.1 定积分中的换元法223

5.3.2 定积分中的分部积分法226

习题5.3228

5.4 反常积分231

5.4.1 无穷区间上的积分231

5.4.2 具有无穷间断点的反常积分234

习题5.4237

5.5 定积分的应用238

5.5.1 建立积分表达式的微元法238

5.5.2 平面图形的面积240

5.5.3 曲线的弧长242

5.5.4 立体的体积245

5.5.5 定积分在物理中的应用248

习题5.5251

第6章 无穷级数256

6.1 常数项级数的概念和性质256

6.1.1 实例256

6.1.2 常数项级数的概念258

6.1.3 常数项级数的性质262

习题6.1264

6.2 常数项级数的审敛准则266

6.2.1 正项级数的敛散准则266

6.2.2 交错级数及其收敛性的莱布尼茨判别法274

6.2.3 任意项级数的绝对收敛与条件收敛275

习题6.2278

6.3 幂级数281

6.3.1 函数项级数282

6.3.2 幂级数及其收敛性282

6.3.3 幂级数的性质和级数求和287

习题6.3290

6.4 函数的幂级数展开292

6.4.1 泰勒与麦克劳林级数292

6.4.2 函数的幂级数展开295

6.4.3 泰勒级数的应用300

习题6.4303

6.5 傅里叶级数304

6.5.1 正交三角函数系304

6.5.2 傅里叶级数305

6.5.3 傅里叶级数的收敛性307

6.5.4 将定义在［0，π］上的函数展成正弦级数或余弦级数311

习题6.5314

6.6 其他形式的傅里叶级数315

6.6.1 周期为2l的周期函数的傅里叶展开式315

6.6.2 傅里叶级数的复数形式319

习题6.6320

参考文献322