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第一章 动力学方程的降阶方法1

1.1　循环积分和广义能量积分1

1.1.1　运动方程的第一积分1

1.1.2　完整系统的循环积分2

1.1.3　完整系统的广义能量积分3

1.1.4　非完整系统的循环积分5

1.1.5　非完整系统的广义能量积分7

1.2　完整系统的Routh方程和Whittaker方程10

1.2.1　利用循环积分的Routh方程10

1.2.2　利用能量积分的Whittaker方程12

1.3　非完整系统方程的降阶方法14

1.3.1　利用循环积分降阶Чаплыгин方程14

1.3.2　一阶非完整系统的广义Whittaker方程20

1.3.3　高阶非完整系统的广义Whittaker方程24

参考文献27

第二章　Poisson定理及其应用31

2.1　Poisson括号及其性质31

2.1.1　Poisson括号的定义及其性质31

2.1.2　复合Poisson括号及Jacobi恒等式32

2.2　关于第一积分的Poisson定理35

2.2.1　Poisson条件35

2.2.2　Poisson定理及其应用36

2.3　求非完整力学系统第一积分Poisson方法39

2.3.1　非完整系统对第一积分的广义Poisson条件39

2.3.2　由已知的第一积分求另外的第一积分42

参考文献47

第三章　正则变换50

3.1　正则变换及其群性50

3.1.1　正则变换50

3.1.2　正则变换的群性54

3.2　母函数55

3.2.1　第一类母函数56

3.2.2　第二类母函数57

3.2.3　第三类母函数58

3.2.4　第四类母函数59

3.3　Mathieu变换和点变换63

3.3.1　Mathieu变换63

3.3.2　点变换63

3.4　无限小正则变换66

参考文献68

第四章　Hamilton-Jacobi方法73

4.1　化零正则变换73

4.1.1　化零正则变换73

4.1.2　化零正则变换与Hamilton-Jacobi方程75

4.2　Hamilton-Jacobi定理76

4.2.1　Hamilton-Jacobi定理76

4.2.2　Hamilton-Jacobi定理的应用79

4.3　Liouville和St？ckel情形79

4.3.1　St？ckel定理80

4.3.2　Liouville情形83

4.4　Hamilton-Jacobi方法对特殊非完整系统的应用87

4.4.1　带乘子方程的Lagrange化88

4.4.2　Чаплыгин系统方程的Lagrange化92

参考文献97

第五章　场方法102

5.1　求解常微分方程的场方法102

5.1.1　场方法102

5.1.2　应用105

5.2　完整系统的场方法107

5.2.1　完整系统运动方程的标准形式107

5.2.2　场方法的应用109

5.3　非完整系统的场方法110

5.3.1　非完整系统Routh方程的标准化和场方法110

5.3.2　Чаплыгин方程的积分114

参考文献121

第六章　Noether定理126

6.1　变换群126

6.2　作用量的变分128

6.2.1　作用量与变换群128

6.2.2　作用量的变分130

6.3　作用量与Lagrange方程的关系132

6.3.1　作用量与Lagrange方程的关系132

6.3.2　两个不同作用量对应同一方程的条件133

6.4　对称变换、准对称变换和广义准对称变换135

6.4.1　对称变换135

6.4.2　准对称变换136

6.4.3　广义准对称变换138

6.4.4　算例139

6.5　Noether定理及其逆定理140

6.5.1　Noether定理140

6.5.2　Noether逆定理142

6.6　力学中基本守恒定律的推导145

6.6.1　能量守恒定律145

6.6.2　广义动量守恒定律146

6.7　Noether定理的推广形式147

6.7.1　广义Noether定理147

6.7.2　广义Noether逆定理150

参考文献156

第七章 力学系统的积分不变量162

7.1　Poincaré一阶线性相对积分不变量163

7.1.1　存在Poincaré线性积分不变量的充分条件163

7.1.2　存在Poincaré线性积分不变量的必要条件166

7.2　高阶积分不变量167

7.2.1　高阶积分不变量167

7.2.2　Liouville定理169

7.3　正则变换与积分不变量174

7.3.1　Poincaré定理174

7.3.2　算例176

7.4　关于积分不变量的惟一性定理177

7.5　Poincaré-Cartan积分不变量180

7.6　没有积分不变量的动力学方程182

参考文献184

第八章 Birkhoff系统的积分理论189

8.1　Birkhoff方程的变换理论189

8.1.1　Hamilton方程的变换理论189

8.1.2　Birkhoff方程的变换理论193

8.1.3　广义正则变换195

8.1.4　算例197

8.2　广义Hamilton-Jacobi方法199

8.2.1　化零广义正则变换200

8.2.2　广义Hamilton-Jacobi方程201

8.2.3　算例202

8.3　Birkhoff系统的Noether理论204

8.3.1　基本定义与判据204

8.3.2　广义Killing方程209

8.3.3　Birkhoff系统的Noether定理213

8.3.4　Birkhoff系统的Noether逆定理217

8.4　积分Birkhoff方程的场方法222

8.4.1　积分运动方程的场方法222

8.4.2　积分Birkhoff方程的场方法222

8.4.3　算例224

8.5　Birkhoff系统的Poisson理论227

8.5.1　Birkhoff系统的广义Poisson括号227

8.5.2　第一积分的广义Poisson条件229

8.5.3　Birkhoff系统的广义Poisson定理230

8.5.4　算例233

参考文献236