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1.1.2　数的基本运算规律1

1.1.3　指数1

1．初等代数1

§1.1　代数运算1

1.1.1　数系1

1.1.5　复数2

1.1.4　对数2

1.1.7　分式4

1.1.6　乘法与因式分解公式4

1.1.8　比例6

1.1.10　不等式7

1.1.9　根式7

1.2.1　等差数列8

§1.2　数列8

1.2.4　常用的求和公式9

1.2.3　等比级数9

1.2.2　等比数列9

1.3.2　组合10

1.3.1　排列10

§1.3　排列、组合与二项式定理10

1.4.1　一元多项式的运算11

§1.4　一元多项式11

1.3.3　二项式定理11

1.4.2　整除12

1.4.3　最大公因式13

1.4.4　因式分解定理14

1.5.1　二阶、三阶行列式15

§1.5　二阶、三阶行列式与代数方程15

1.5.4　一元三次方程16

1.5.3　一元二次方程16

1.5.2　三元一次方程组的解法16

1.5.6　根与系数的关系17

1.5.5　一元四次方程17

2.1.1　直线　角19

§2.1　平面几何19

2．初等几何19

2.1.2　三角形20

2.1.3　四边形21

2.1.4　正多边形22

2.1.5　圆23

2.2.1　直线与平面24

§2.2　立体几何24

2.2.2　多面体26

2.2.3　旋转体28

2.3.1　命题　命题之间的关系30

§2.3　证题法概述30

2.2.4　立体角30

2.3.2　证明方法31

3.1.2　三角函数的定义和基本关系35

3.1.1　角的两种度量制35

3．三角学35

§3.1　平面三角35

3.1.3　三角函数的诱导公式　三角函数的图形与特性37

3.1.4　两角和的三角函数公式　倍角公式与半角公式42

3.1.5　三角函数的和差与积的关系式43

3.1.6　三角形基本定理44

3.1.8　三角形面积公式45

3.1.7　斜三角形解法45

3.1.9　反三角函数46

3.1.10　三角方程48

3.2.1　球面角球面二角形球面三角形51

§3.2　球面三角51

3.2.3　球面三角形的计算公式52

3.2.2　球面三角形的性质52

3.2.4　球面直角三角形解法54

3.2.5　球面斜角三角形解法55

4.1.1　笛卡儿直角坐标系56

§4.1　笛卡儿直角坐标系56

4．解析几何56

4.1.2　两点间的距离57

4.1.3　分线段为定比的分点的坐标58

4.1.4　坐标变换59

4.2.1　基本概念60

§4.2　曲线方程与曲面方程60

4.2.3　交点与交线61

4.2.2　曲线的参数方程61

4.3.1　平面上的直线方程62

§4.3　平面上的直线62

4.3.3　两直线的夹角及平行、垂直条件63

4.3.2　点到直线的距离　直线的法方程63

4.1.1　圆64

§4.4　二次曲线64

4.3.4　直线束　三直线共点的条件64

4.4.2　椭圆65

4.4.3　双曲线66

4.4.4　抛物线67

4.4.5　圆锥曲线68

4.4.6　一般二次曲线71

§4.5　常用的平面曲线73

4.6.1　平面方程77

§4.6　平面、空间中的直线77

4.6.2　点到平面的距离　平面的法方程78

4.6.4　直线、平面的相互位置79

4.6.3　空间中的直线方程79

4.7.1　球面82

§4.7　二次曲面82

4.7.2　椭球面83

4.7.3　双曲面84

4.7.5　柱面85

4.7.4　抛物面85

4.7.7　一般二次曲面87

4.7.6　锥面87

5.1.1　n阶行列式的定义92

§5.1　行列式92

5．线性代数92

5.1.2　行列式的性质93

5.1.3　行列式的计算95

5.1.4　拉普拉斯展开　行列式的乘法公式96

5.1.5　范德蒙德行列式与格拉姆行列式97

5.1.6　连加号∑与连乘号∏98

5.2.1　n维向量空间99

§5.2　矩阵99

5.2.2　向量组的线性关系100

5.2.3　矩阵及矩阵的秩101

5.2.4　矩阵的运算102

5.2.6　矩阵的分块　初等矩阵105

5.2.5　矩阵的逆105

5.2.7　几种特殊的矩阵107

5.3.1　含n个未知量、n个方程的线性方程组109

§5.3　线性方程组109

5.3.2　一般线性方程组110

5.4.2　线性子空间114

5.4.1　线性空间的维数　基与坐标114

§5.4　线性空间114

5.5.1　线性变换的定义与运算115

§5.5　线性变换115

5.4.3　子空间的交、和、直和115

5.5.2　线性变换的矩阵116

5.5.3　本征值与本征向量117

5.6.1　最小多项式120

§5.6　若尔当典范形120

5.6.2　λ矩阵的典范形121

5.6.4　若尔当典范形122

5.6.3　不变因子与初等因子122

5.7.1　二次型及其矩阵表示123

§5.7　二次型123

5.7.3　二次型的惯性指数124

5.7.2　标准形124

5.7.4　正（负）定二次型125

5.8.2　规范正交基126

5.8.1　度量矩阵126

§5.8　欧几里得空间126

5.8.3　正交变换与对称变换127

5.8.4　实对称矩阵的对角化128

5.8.5　酉空间129

6.1.1　实数130

§6.1　分析基础130

6．微积分130

6.1.2　数列的极限132

6.1.3　函数136

6.1.4　函数的极限140

6.1.5　无穷小、无穷大的比较142

6.1.6　函数的连续性143

6.1.7　Rn中的点集144

6.1.8　n元函数的极限145

6.1.9　n元函数的连续性146

6.2.1　函数的导数与微分147

§6.2　微分学147

6.2.2　多元函数的偏导数与全微分151

6.2.3　隐函数155

6.2.4　微分学基本定理160

6.3.1　单元函数微分学的应用164

§6.3　微分学的应用164

6.3.2　多元函数微分学的应用167

6.4.1　基本概念与性质171

§6.4　不定积分171

6.4.2　积分法172

6.4.3　原函数可表为有限形式的几类函数177

6.4.4　不定积分表181

6.5.1　定积分的定义192

§6.5　定积分192

6.5.3　定积分的性质193

6.5.2　可积函数类193

6.5.4　定积分的中值定理194

6.5.6　定积分的计算195

6.5.5　微积分学基本定理195

6.6.1　二重积分196

§6.6　重积分196

6.6.2　三重积分198

6.6.3　n重积分201

6.7.1　平面图形的面积202

§6.7　定积分与重积分的应用202

6.7.2　曲面的面积203

6.7.4　弧长204

6.7.3　体积204

6.7.6　重心205

6.7.5　质量205

6.8.1　有界变差函数206

§6.8　斯蒂尔切斯积分206

6.7.7　转动惯量206

6.8.3　斯蒂尔切斯积分的定义208

6.8.2　可求长曲线208

6.8.5　斯蒂尔切斯积分的性质209

6.8.4　斯蒂尔切斯积分存在的条件209

6.9.1　第一型曲线积分211

§6.9　曲线积分与曲面积分211

6.8.6　斯蒂尔切斯积分的计算211

6.9.2　第二型曲线积分213

6.9.3　第一型曲面积分216

6.9.4　第二型曲面积分218

6.10.1　数项级数与无穷乘积222

§6.10　级数222

6.10.2　函数项级数228

6.10.3　幂级数232

6.10.4　傅里叶级数236

6.11.1　无穷限的广义积分242

§6.11　广义积分242

6.11.2　无界函数的广义积分243

6.11.3　常用的广义积分公式245

6.12.1　含参变量的常义积分246

§6.12　含参变量积分246

6.12.3　由含参变量广义积分所确定的函数247

6.12.2　含参变量广义积分的一致收敛性247

6.12.4　常用的含参变量积分公式248

6.13.2　魏尔斯特拉斯定理249

6.13.1　引论249

§6.13　数值逼近249

6.13.4　切比雪夫多项式250

6.13.3　最佳一致逼近多项式250

6.13.5　切比雪夫多项式在数值逼近的领域里应用举例251

6.13.6　线性内积空间的最佳逼近253

6.13.7　函数的最佳平方逼近254

6.13.8　正交多项式255

6.13.9　用勒让德多项式作平方逼近256

6.13.10　函数按切比雪夫多项式展开257

7.1.2　复平面上的点集　区域258

7.1.1　复平面上曲线的方程258

7．复变函数258

§7.1　复平面258

7.1.3　扩充复平面260

7.2.2　复变函数的极限与连续性261

7.2.1　复变函数261

§7.2　复变函数261

7.2.3　复数序列与复数项级数262

7.2.4　复函数序列与复函数项级数263

7.3.1　复变函数的导数264

§7.3　全纯函数　柯西-黎曼方程264

7.3.2　共轭调和函数265

7.3.4　多值函数　黎曼面266

7.3.3　单叶函数及其反函数266

7.4.2　指数函数268

7.4.1　有理函数268

§7.4　初等复函数268

7.4.4　对数函数　幂函数269

7.4.3　三角函数　双曲函数269

7.5.1　复积分的定义与简单性质270

§7.5　复积分　柯西积分定理与柯西积分公式270

7.4.5　反三角函数270

7.4.6　初等复函数270

7.5.2　柯西积分定理272

7.5.3　柯西积分公式273

7.6.1　复幂级数274

§7.6　全纯函数的级数表示274

7.5.4　柯西型积分274

7.6.2　泰勒展开式275

7.6.3　常用的泰勒展开式276

7.6.4　洛朗展开式278

7.7.1　孤立奇点及其分类279

§7.7　孤立奇点与留数279

7.7.2　解析函数在无穷远点的性态280

7.7.3　留数　留数定理281

7.7.4　利用留数计算定积分282

7.7.5　辐角原理283

7.8.1　亚纯函数284

§7.8　亚纯函数　整函数284

7.8.2　亚纯函数的部分分式展开285

7.8.3　整函数的无穷乘积展开286

7.9.2　解析延拓287

7.9.1　解析函数元素287

§7.9　解析延拓287

7.10.2　分式线性映射289

7.10.1　全纯函数与共形映射289

§7.10　共形映射289

7.10.4　对称原理　上半平面映射为多角形290

7.10.3　某些初等函数的映射特性290

7.10.5　黎曼映射定理　边界对应291

7.10.6　常用共形映射表293

§7.11　解析函数在解平面狄利克雷问题中的应用295

§7.12　解析函数在流体力学中的应用296

§7.13　解析函数在电磁学与热学中的应用298

§7.14　解析函数在平面弹性理论中的应用299

8.1.2　有关方程的解的概念301

8.1.1　有关常微分方程的概念301

8．常微分方程与动力系统301

§8.1　一般概念301

8.2.1　存在和唯一性定理302

§8.2　一阶微分方程302

8.2.2　一阶微分方程的若干可积类型及其通解303

8.2.3　奇解及其求法308

8.3.1　n阶正规形微分方程与一阶正规形微分方程组的互化309

§8.3　高阶微分方程309

8.3.3　高阶微分方程的若干可积类型及其通解310

8.3.2　存在和唯一性定理310

8.4.1　朗斯基行列式312

§8.4　高阶线性微分方程312

8.4.2　线性微分方程解的结构313

8.4.3　常系数线性微分方程315

8.4.5　二阶齐次线性微分方程解的定性性质318

8.4.4　欧拉方程318

8.4.6　二阶齐次线性微分方程的幂级数解法319

8.5.1　线性微分方程组解的结构321

§8.5　线性微分方程组321

8.5.2　常系数线性微分方程组322

8.6.1　微分方程的解对初值的连续相依性与可微性325

§8.6　动力系统与稳定性理论初步325

8.6.3　动力系统的一般概念326

8.6.2　解对参数的连续相依性与可微性326

8.6.4　二维定常系统的极限环328

8.6.5　二维常系数线性微分方程组的奇点329

8.6.6　李雅普诺夫稳定性的基本概念332

8.6.7　稳定性与不稳定性的基本定理333

8.6.8　齐次常系数线性微分方程组零解的稳定性334

8.7.1　机械系统的振动335

§8.7　微分方程在力学、电学中的应用335

8.6.9　结构稳定性335

8.7.2　简单电路338

8.8.2　线性差分方程340

8.8.1　一般概念340

§8.8　差分方程340

8.8.3　例341

8.9.1　连续系统的分岔342

§8.9　分岔与混沌342

8.9.2　霍普夫分岔定理343

8.9.4　混沌概念344

8.9.3　离散系统的分岔344

8.9.5　混沌的数值特征345

§9.1　一般概念347

9．偏微分方程论347

9.2.1　一阶线性偏微分方程348

§9.2　一阶偏微分方程348

9.2.2　一阶拟线性偏微分方程349

9.2.3　一阶非线性偏微分方程351

9.3.2　两个自变量的一阶线性方程组的分类354

9.3.1　特征方程　特征方向　特征曲线354

§9.3　一阶线性偏微分方程组354

9.3.3　狭义双曲型方程组355

9.4.1　两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简和分类357

§9.4　二阶线性偏微分方程的分类357

§9.5　三类典型的二阶线性偏微分方程358

9.4.2　n个自变量的二阶线性方程的分类358

9.5.1　一维波动方程与定解条件的提法359

9.5.2　高维波动方程360

9.5.3　热传导方程362

9.5.4　拉普拉斯方程和泊松方程364

9.6.1　线性齐次方程和齐次边界条件366

§9.6　偏微分方程的分离变量法366

9.6.2　线性非齐次方程和齐次边界条件369

9.6.3　齐次化原理370

9.6.4　非齐次边界条件的处理372

9.7.2　利用格林函数解拉普拉斯方程的第一边值问题373

9.7.1　格林函数及其性质373

§9.7　拉普拉斯方程的格林函数法373

9.8.1　单层位势　双层位势377

§9.8　拉普拉斯方程的位势方法377

9.7.3　利用格林函数解泊松方程的第一边值问题377

9.8.2　用位势理论解拉普拉斯方程的边值问题380

§9.9　偏微分方程的积分变换法382

9.10.1　δ函数及其性质384

§9.10　δ函数和基本解384

9.10.2　基本解385

9.11.1　一维波动方程的定解问题的适定性389

§9.11　定解问题的适定性389

9.11.3　一维热传导方程定解问题的适定性391

9.11.2　调和函数的极值原理　狄利克雷问题的适定性391

9.12.1　偏导数与差商392

§9.12　偏微分方程的差分解法392

9.11.4　柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理392

9.12.2　拉普拉斯方程的差分解法393

9.12.3　热传导方程的差分解法396

9.12.4　波动方程的差分解法397

10.1.1　平面曲线的方程　切线与法线399

§10.1　平面曲线399

10．微分几何399

10.1.2　平面曲线的曲率401

10.1.3　平面曲线族的包络线402

10.1.4　平面曲线的整体性质403

10.2.1　空间曲线的切向量、主法向量与副法向量 曲率与挠率405

§10.2　空间曲线405

10.2.2　弗雷内公式　曲线在一点邻近的性态407

10.2.3　空间曲线论的基本定理408

10.3.1　曲面的参数表示409

§10.3　曲面的参数表示409

10.3.3　常用的曲面410

10.3.2　曲面的切平面与法向量410

10.4.1　第一基本型413

§10.4　曲面的第一、第二基本型413

10.4.2　等距对应　共形对应414

10.4.3　第二基本型416

10.4.4　迪潘标形　共轭方向　渐近方向417

10.5.1　法曲率418

§10.5　曲面上的曲率418

10.5.2　主曲率419

10.5.3　中曲率　全曲率420

10.6.1　曲面的球面表示421

§10.6　曲面的球面表示　第三基本型421

10.7.1　直纹曲面与可展曲面的构造422

§10.7　直纹曲面　可展曲面422

10.6.2　第三基本型422

10.7.2　直纹曲面与可展曲面的性质424

10.8.1　曲面的基本公式425

§10.8　曲面论的基本定理425

10.9.1　测地曲率426

§10.9　测地曲率　测地线426

10.8.2　曲面论的基本定理426

10.9.2　测地线427

§10.10　曲面上向量的平行移动428

10.9.4　测地挠率428

10.9.3　测地坐标系428

§10.11　曲面的一些整体性质429

§11.1　一般概念431

11．积分方程431

§11.2　弗雷德霍姆定理433

11.3.2　退化核的积分方程的解法434

11.3.1　退化核434

§11.3　退化核的积分方程434

11.4.2　叠核和预解核436

11.4.1　逐次逼近法436

§11.4　逐次逼近法　叠核和预解核436

§11.5　对于任何λ的弗雷德霍姆方程437

11.6.1　对称核方程的特征值和特征函数438

§11.6　对称核438

11.6.2　对称核按特征函数系的展开式439

11.6.4　埃尔米特核和斜对称核440

11.6.3　对称核的分类　默塞尔定理440

11.7.1　核为？型的积分方程441

§11.7　？型无界核　奇异积分方程441

11.7.2　奇异积分方程442

11.8.1　第二类沃尔泰拉积分方程和方程组443

§11.8　沃尔泰拉方程443

11.8.2　特殊形式的沃尔泰拉方程444

11.8.3　第一类沃尔泰拉积分方程　阿贝尔方程445

11.9.1　数值积分方法446

§11.9　积分方程的近似解法446

11.9.4　变分方法447

11.9.3　迭代法447

11.9.2　近似核方法447

§12.1　一般概念448

12．变分法448

12.2.1　最简单的变分问题　欧拉方程449

§12.2　固定边界的变分问题449

12.2.3　含高阶导数的泛函451

12.2.2　含多个未知函数的泛函451

12.2.4　多元函数的泛函452

12.2.5　用参数形式表示的泛函453

12.3.1　平稳曲线场与雅可比条件454

§12.3　泛函极值的充分条件454

12.4.1　？F（x,y,y′）dx型泛函455

§12.4　可动边界的变分问题455

12.3.2　泛函 J［y（x）］＝？F（x,y,y′）dx极值的充分条件455

12.4.2 ？F（x,y,z,y′，z′）dx型泛函456

12.5.1　泛函在约束条件？（x,y1,y2，…，yn）＝0（i＝1,2，…，m,m＜n）下的变分问题457

§12.5　条件变分问题457

12.4.3 ？F（x,y,y′，y″）dx型泛函457

12.5.2　泛函在约束条件？（x,y1,y2，…，yn,y′1,y′2，…，y′n）dx＝li（i＝1,2，…，m）下的变分问题458

12.6.1　直接法和极小化序列459

§12.6　变分问题的直接法459

12.6.2　里兹法460

12.6.3　欧拉有限差分法461

12.6.4　康托罗维奇法462

12.7.2　最小势能原理463

12.7.1　哈密顿原理463

§12.7　力学中的变分原理463

12.7.3　变分法和数学物理微分方程464

13.1.1　事件465

§13.1　基本概念465

13．概率论465

13.1.3　概率空间466

13.1.2　古典概型466

13.1.4　条件概率468

13.2.1　随机变量与分布函数的定义469

§13.2　一维随机变量及其分布469

13.2.3　几种重要的离散型分布470

13.2.2　离散型随机变量的概率分布470

13.2.5　几种重要的连续型分布472

13.2.4　连续型随机变量的概率密度472

13.2.6　随机变量的函数474

13.3.1　多维随机变量与分布函数476

§13.3　多维随机变量及其分布476

13.3.2　边际分布478

13.3.3　条件分布479

13.3.4　随机变量的相互独立性480

13.3.5　随机向量的函数481

13.3.6　几种重要的随机向量函数的分布483

13.3.7　随机向量的变换485

13.4.1　数学期望487

§13.4　一维随机变量的数字特征487

13.4.2　随机变量函数的数学期望488

13.4.3　方差489

13.5.2　协方差矩阵　相关系数490

13.5.1　一般概念490

§13.5　随机向量的数字特征490

13.5.3　条件数学期望492

13.6.1　母函数493

§13.6　母函数与特征函数493

13.6.2　特征函数的定义及性质495

13.6.4　分布函数列的弱收敛496

13.6.3　逆转公式及唯一性定理496

13.6.6　博赫纳-辛钦定理497

13.6.5　连续性定理497

13.6.7　n维随机向量的特征函数498

13.8.1　随机变量的收敛性499

§13.8　极限定理499

§13.7　常用分布简表499

13.8.2　大数定律504

13.8.4　中心极限定理505

13.8.3　加强的大数定律505

数值表1　泊松分布P（ξ＝k）＝？-λ的数值表507

附录507

数值表2 φ1（x）＝？dt数值表（x≥0）509

数值表3　x2分布表512

数值表4　t分布表514

14.1.2　集的运算516

14.1.1　集516

14．近代数学选题516

§14.1　集论516

14.1.4　关系518

14.1.3　集的关系与运算的图形表示518

14.1.5　映射519

14.1.7　等价关系与商集520

14.1.6　积集与幂集520

14.1.9　选择公理及其等价命题521

14.1.8　偏序关系521

14.1.11　布尔代数522

14.1.10　基数522

14.1.12　命题代数　开关代数523

14.2.1　半群524

§14.2　代数结构524

14.2.2　群525

14.2.4　循环群　有限群526

14.2.3　正规子群　商群526

14.2.6　理想　商环527

14.2.5　环527

14.2.8　模　向量空间　代数528

14.2.7　域528

14.3.2　度量空间中的开集和闭集530

14.3.1　度量空间530

§14.3　拓扑空间530

14.3.3　度量空间到度量空间的连续映射531

14.3.4　完全度量空间532

14.3.5　拓扑空间533

14.3.8　积拓扑空间534

14.3.7　分离性534

14.3.6　拓扑空间到拓扑空间的连续映射　同胚534

14.3.9　商拓扑空间535

14.3.11　紧性536

14.3.10　连通性536

14.4.1　勒贝格外测度537

§14.4　勒贝格积分537

14.3.12　可度量化拓扑空间537

14.4.3　勒贝格可测函数538

14.4.2　勒贝格测度538

14.4.4　依测度收敛性539

14.4.5　勒贝格积分540

14.4.6　勒贝格积分的性质541

14.4.7　绝对连续函数542

14.4.8　重积分与累次积分543

14.5.1　巴拿赫空间的定义与例544

§14.5　泛函分析544

14.5.2　连续线性算子　对偶空间546

14.5.4　线性泛函分析的基本定理547

14.5.3　巴拿赫空间中的收敛性547

14.5.6　希尔伯特空间的定义与例548

14.5.5　巴拿赫空间之间连续映射的导数548

14.5.7　正交投影549

14.5.8　伴随算子550

14.5.9　正交系551

14.5.10　谱552

14.5.12　广义函数的定义与例553

14.5.11　紧算子的谱分析553

14.5.13　广义函数的导数554

14.5.14　广义函数的卷积与傅里叶变换556

14.6.1　微分流形的定义与例558

§14.6　微分流形558

14.6.2　可微映射　微分同胚559

14.6.4　余切空间560

14.6.3　切空间560

14.6.5　微分流形之间的映射的微分与切变换561

14.6.6　微分子流形562

14.6.8　向量场　泊松括号积563

14.6.7　定向流形563

14.6.9　张量场　微分形式564

14.6.11　斯托克斯公式565

14.6.10　外微分565

14.6.12　黎曼流形566

15.1.1　向量及其运算568

§15.1 向量代数568

15．向量分析　张量分析568

15.1.2　向量的坐标569

15.1.3　向量的数量积570

15.1.4　向量的向量积571

15.2.1　单元向量函数的微分法573

§15.2　向量函数的微积分573

15.2.3　多元向量函数的微积分574

15.2.2　单元向量函数的积分法574

15.3.2　数量场的梯度575

15.3.1　场575

§15.3　数量场575

15.3.3　哈密顿算子576

15.4.1　向量场的散度577

§15.4　向量场577

15.4.2　向量场的旋度578

15.4.4　几种特殊的向量场579

15.4.3　场论基本定理579

15.5.1　正交曲线坐标系580

§15.5　场论中的量在正交曲线坐标系中的表示式580

15.5.2　场论中的量在正交曲线坐标系中的表示式581

15.6.1　质点运动的速度与加速度583

§15.6　向量分析在运动学中的应用583

15.6.3　质点的相对运动584

15.6.2　刚体的运动584

15.7.1　牛顿第二定律与达朗贝尔原理585

§15.7　向量分析在动力学中的应用585

15.7.3　动量矩定理586

15.7.2　动量定理586

15.7.4　动能定理587

15.8.2　安培-比奥-萨瓦定律与安培定理588

15.8.1　库伦定律与高斯定理588

§15.8　向量分析在电磁学中的应用588

15.8.3　法拉第电磁感应定律　麦克斯韦方程组589

15.9.1　张量概念590

§15.9　张量590

15.9.2　张量的分量591

15.9.3　张量的运算592

15.9.4　外代数593

15.10.2　共变微分594

15.10.1　仿射联络594

§15.10　共变微分594

15.11.1　黎曼联络596

§15.11　黎曼空间中的张量分析596

15.10.3　曲率张量与挠率张量596

15.11.3　曲率张量的性质597

15.11.2　各种算子的表示式597

15.11.4　平行移动　测地线598

15.12.1　质点的自由运动599

§15.12　张量分析在离散质点系力学中的应用599

15.12.2　质点的约束运动600

15.13.1　应力张量601

§15.13　张量分析在连续介质力学中的应用601

15.12.3　质点系的约束运动601

15.13.3　平衡方程与运动方程602

15.13.2　应变张量602

15.14.1　狭义相对论603

§15.14　张量分析在相对论中的应用603

15.14.2　广义相对论604

16.1.1　傅里叶积分606

§16.1　傅里叶积分与傅里叶变换606

16．积分变换606

16.1.2　傅里叶变换概念607

16.1.3　傅里叶变换的性质609

16.1.4　卷积与相关函数610

16.1.5　多重傅里叶变换611

§16.2　傅里叶正弦变换与傅里叶余弦变换613

§16.3　傅里叶核615

16.4.1　有限正弦变换与有限余弦变换的定义　反演公式617

§16.4　有限傅里叶变换617

16.4.3　用有限傅里叶变换解偏微分方程定解问题的例618

16.4.2　函数的导数的有限傅里叶变换公式618

16.4.4　多重有限傅里叶变换619

16.5.1　波形采样622

§16.5　离散傅里叶变换622

16.5.2　离散傅里叶变换对624

16.5.4　离散傅里叶变换的性质627

16.5.3　离散卷积与离散相关627

16.6.1　矩阵方程与快速傅里叶变换算法628

§16.6　快速傅里叶变换628

16.6.2　信号流程图631

16.7.1　拉普拉斯变换概念632

§16.7　拉普拉斯变换632

16.7.2　拉普拉斯变换的性质633

16.7.3　卷积与杜阿梅尔公式635

16.7.4　拉普拉斯逆变换636

16.7.5　拉普拉斯变换在解微分方程上的应用637

16.7.6　二重拉普拉斯变换638

16.8.2　汉克尔变换性质639

16.8.1　汉克尔变换639

§16.8　汉克尔变换有　限汉克尔变换639

16.9.1　梅林变换640

§16.9　梅林变换　希尔伯特变换640

16.8.3　有限汉克尔变换640

16.9.2　希尔伯特变换641

16.10.1　傅里叶变换简表642

§16.10　积分变换简表642

16.10.2　傅里叶余弦变换简表644

16.10.3　傅里叶正弦变换简表645

16.10.4　有限傅里叶余弦变换简表646

16.10.5　有限傅里叶正弦变换简表647

16.10.6　拉普拉斯变换简表648

16.10.7　汉克尔变换简表651

16.10.8　梅林变换简表653

16.10.9　希尔伯特变换简表655

17.1.1　г函数定义与递推关系656

§17.1　г函数656

17．特殊函数656

17.1.2　г函数的无穷乘积表达式　г函数与三角函数的关系657

17.1.4　比内公式　渐近展开　斯特林公式658

17.1.3　г函数的积分表达式658

17.1.5　г函数的对数微商　多г函数　不完全г函数659

§17.2　B函数660

§17.3　误差函数　菲涅尔积分661

§17.4　指数积分　对数积分　正弦积分　余弦积分662

17.5.1　勒让德方程与勒让德函数663

§17.5　勒让德函数　勒让德多项式663

17.5.2　勒让德多项式的定义　微商表示与积分表示665

17.5.4　Pn（x）的正交性　傅里叶-勒让德级数667

17.5.3　Pn（z）的母函数　Pn（z）的递推公式667

17.5.5　第二类勒让德函数668

17.5.6　连带勒让德函数及其递推公式669

17.5.7　P？（x）的正交性　按｛P？（x）｝？＝m展开670

17.5.8　n阶球面调和函数及其正交性671

17.6.2　第一类贝塞尔函数及其递推公式673

17.6.1　贝塞尔方程与贝塞尔函数673

§17.6　贝塞尔函数673

17.6.4　J？（z）的积分表示　整数阶的贝塞尔函数的母函数675

17.6.3　半奇数阶贝塞尔函数675

17.6.6　贝塞尔函数的正交性　傅里叶-贝塞尔级数677

17.6.5　J？（z）的零点677

17.6.7　第二类贝塞尔函数678

17.6.9　修正贝塞尔函数680

17.6.8　第三类贝塞尔函数680

17.6.11　球贝塞尔函数682

17.6.10　开耳芬函数682

17.6.12　各类贝塞尔函数的渐近展开式683

§17.7　埃尔米特函数与埃尔米特多项式684

§17.8　拉盖尔函数与拉盖尔多项式685

17.9.1　第一类切比雪夫多项式687

§17.9　切比雪夫多项式687

17.10.1　超几何方程689

§17.10　超几何函数689

17.9.2　第二类切比雪夫多项式689

17.10.2　超几何级数与超几何函数690

17.10.3　雅可比多项式691

17.11.1　合流超几何方程与合流超几何函数692

§17.11　合流超几何函数692

17.10.4　超几何函数的积分表示692

17.10.5　用超几何函数表示的富克斯型方程解的例692

17.11.2　合流超几何函数的积分表示693

17.11.3　惠特克方程与惠特克函数694

17.11.4　抛物柱面函数695

17.12.1　椭圆积分696

§17.12　椭圆积分与椭圆函数696

17.12.3　椭圆函数698

17.12.2　不完全椭圆积分与完全椭圆积分698

17.12.4　魏尔斯特拉斯椭圆函数　ζ函数　σ函数699

17.12.6　雅可比椭圆函数701

17.12.5　θ函数701

18.1.1　误差和有效数字704

§18.1　误差与近似704

18．科学计算704

18.1.2　稳定性和数值稳定性705

18.1.4　里查森（Richardson）外推706

18.1.3　收敛速度706

18.2.1　拉格朗日插值707

§18.2　插值法707

18.2.2　尼维勒（Neville）算法和艾特肯（Aitken）算法708

18.2.4　等距节点插值709

18.2.3　牛顿插值709

18.2.5　埃尔米特插值710

18.2.7　分段三次埃尔米特插值711

18.2.6　分段线性插值711

18.2.8　三次样条插值712

18.3.1　曲线拟合的最小二乘法714

§18.3　曲线拟合714

18.3.2　直线拟合715

18.3.3　用正交函数作最小二乘拟合716

18.4.1　求导公式717

§18.4　数值微分717

18.5.1　数值积分的基本概念718

§18.5　数值积分718

18.4.2　样条求导718

18.5.2　牛顿-科茨公式719

18.5.3　复化求积公式721

18.5.5　高斯公式722

18.5.4　龙贝格（Romberg）积分722

18.5.6　重积分728

18.5.7　蒙特卡洛（Monte-Carlo）法729

18.6.1　一阶方程及单步法731

§18.6　常微分方程的数值解法731

18.6.2　线性多步法734

18.6.3　一阶方程组736

18.6.4　化高阶方程为一阶方程组738

18.7.1　非线性方程739

§18.7　非线性方程和非线性方程组739

18.7.2　代数方程求根742

18.7.3　非线性方程组745

18.8.1　高斯消去法746

§18.8　解线性方程组的直接方法746

18.8.2　选主元747

18.8.3　高斯-若尔当消去法748

18.8.4　LU分解法749

18.8.5　LDLT分解法752

18.8.6 平方根法753

18.8.7　追赶法754

18.9.1　基本概念755

§18.9　解线性方程组的迭代法755

18.9.2　雅可比迭代法756

18.9.3　高斯-赛德尔迭代法757

18.9.4　超松弛迭代法758

18.10.1　一些代数知识759

§18.10　矩阵的特征值与特征向量计算759

18.10.2　幂法760

18.10.3　反幂法762

18.10.5　QR方法764

18.10.4　魏兰特（Wielandt）紧缩764

18.10.6　雅可比方法765

18.10.7　豪斯霍尔德方法768

18.10.8　对称三对角阵的特征值计算771

18.11.1　有限差分法774

§18.11　偏微分方程的数值解法774

§18.12　编程技巧779

19.1.1　生成函数及其代数运算781

§19.1　生成函数781

19．组合论781

19.1.2　生成函数的分析运算788

19.1.3　普生成函数与指数生成函数间的关系790

§19.2　复合函数的高阶导数792

19.3.1　斯特林数794

§19.3　斯特林数与拉赫数794

19.3.2　拉赫数796

19.4.2　贝尔数797

19.4.1　伯努利数797

§19.4　伯努利数与贝尔数797

19.5.1　伯努利多项式798

§19.5　伯努利多项式　贝尔多项式　求和公式798

19.5.2　贝尔多项式799

19.5.3　求和公式800

19.6.1　基本概念801

§19.6　反演公式801

19.6.2　反演公式803

19.6.3　二项式型多项式列804

19.7.2　容斥原理807

19.7.1　一些记号807

§19.7　容斥原理807

19.7.3　容斥原理的应用举例808

19.8.1　有关递归关系的一些基本概念809

§19.8　递归关系809

19.8.2　一元线性递归关系810

19.8.4　阿贝尔恒等式811

19.8.3　非线性递归关系811

19.8.5　拉姆齐定理　拉姆齐数及其应用812

19.9.1　基本概念814

§19.9　（0,1）矩阵814

19.9.2　积和式与关联矩阵的性质815

19.10.2　双随机矩阵817

19.10.1　线秩和项秩817

§19.10　线秩和项秩817

20.1.1　图与子图819

§20.1　基本概念819

20．图论819

20.1.2　图的运算821

20.2.1　顶点的度822

§20.2　通路与回路822

20.2.2　通路与回路823

20.2.3　赋权图与最短通路824

20.3.2　H图825

20.3.1　E图825

§20.3　E图与H图825

20.4.1　树与生成树826

§20.4　树与割集826

20.4.3　割集与断集827

20.4.2　连枝集与基本回路集827

20.5.1　邻接矩阵828

§20.5　图的矩阵表示828

20.5.2　关联矩阵829

20.5.3　回路矩阵830

20.6.1　平面图832

§20.6　平面图832

20.5.4　割集矩阵832

20.6.2　对偶图834

20.7.1　网络与流835

§20.7　网络流835

20.7.2　标号算法836

21.1.1　随机过程的定义837

§21.1　随机过程的概念837

21．随机过程837

21.1.2　随机过程的分布函数838

21.1.4　两个或两个以上随机过程的联合分布和数字特征839

21.1.3　随机过程的数字特征839

21.2.1　马尔可夫过程的定义840

§21.2　马尔可夫过程840

21.2.2　马尔可夫链841

21.2.3　时间连续、状态离散的马尔可夫过程844

21.2.4　扩散过程846

21.3.2　平稳随机过程的数字特征848

21.3.1　平稳随机过程的定义848

§21.3　平稳随机过程848

21.3.3　各态历经性849

21.3.4　相关函数的性质851

21.3.5　平稳过程的功率谱密度852

22.1.1　基本概念855

§22.1　抽样分布855

22．数理统计855

22.1.2　经验分布856

22.1.3　抽样分布857

22.2.1　点估计861

§22.2　参数估计861

22.2.2　点估计的评价标准862

22.2.3　区间估计864

22.2.4　随机参数的估计867

22.3.2　参数假设检验870

22.3.1　假设检验的原理与基本步骤870

§22.3　假设检验870

22.3.3　非参数假设检验875

22.4.1　基本概念878

§22.4　线性模型878

22.4.2　回归分析879

22.4.3　方差分析883

22.5.1　基本概念887

§22.5　抽样调查887

22.5.2　简单随机抽样888

22.5.3　不等概PPS抽样894

22.5.4　分层抽样895

22.5.5　多阶抽样898

22.6.1　多元数据900

§22.6　多元数据分析900

22.6.2　主成分分析901

22.6.3　因子分析904

22.6.4　多总体费歇尔判别905

22.6.5　聚类分析907

23.1.2　排队模型的符号表示909

23.1.1　服务系统的分类与特征909

23．运筹学909

§23.1　排队论909

23.1.3　服务系统的运行指标910

23.1.5　排队论中常用的事件流的概率分布911

23.1.4　状态概率及其求解的方法911

23.1.6　单通道损失制（M/M/1/0）913

23.1.7　多通道损失制（M/M/n/0）914

23.1.8　单通道等待制（M/M/1）915

23.1.9　多通道等待制（M/M/n）916

23.1.10　单通道混合制（M/M/1/m）918

23.1.11　多通道混合制（M/M/n/m）920

23.1.12　M/G/1模型921

23.1.13　M/D/1模型．M/Ek/1模型922

23.1.14　排队系统的最优化923

23.2.2　确定型决策问题925

23.2.1　决策模型925

§23.2　决策论925

23.2.3　风险型决策问题926

23.2.4　不确定型决策问题930

23.3.1　基本概念933

§23.3　对策论933

23.3.2　存在定理935

23.3.3　矩阵对策936

23.3.4　矩阵对策的求解方法939

23.4.1　基本概念943

§23.4　存储论943

23.4.2　确定性存储模型944

23.4.3　随机性存储模型945

24.1.2　系统的方程951

24.1.1　系统的状态951

24．控制理论951

§24.1　基本概念951

24.1.3　最优控制问题953

24.2.1　时变系统的解955

§24.2　线性状态方程的解955

24.1.4　闭环控制与开环控制955

24.2.3　连续状态方程的离散化956

24.2.2　转移矩阵956

24.2.4　离散状态方程的解957

24.3.1　连续系统的能控性与能观测性959

§24.3　线性系统的完全能控性与完全能观测性959

24.3.2　离散系统的能控性与能观测性962

24.4.1　用动态规划解离散型最优控制问题的方法963

§24.4　动态规划方法963

24.3.3　能控性与能观测性的对偶关系963

24.4.3　连续系统的哈密顿-雅可比-贝尔曼方程965

24.4.2　离散型随机线性二次最优控制问题的解法965

24.4.4　连续型线性二次最优控制问题的解法966

24.5.1　连续系统的最小值原理967

§24.5　最小值原理967

24.5.2　离散系统的最小值原理968

24.6.2　卡尔曼滤波方法969

24.6.1　基本概念969

§24.6　随机系统的最优控制969

24.6.3　随机控制系统的分离定理971

25.1.1　线性规划问题的一般形式974

§25.1　线性规划974

25．最优化方法974

25.1.2　化线性规划的一般形式为标准形式975

25.1.3　线性规划问题解的概念976

25.1.4　线性规划的基本理论978

25.1.5　单纯形法980

25.1.6　求初始基本可行解的人工变量法985

25.1.7　线性规划的对偶理论991

25.1.8　对偶单纯形法994

25.1.9　内点法996

25.2.1　问题与解的概念999

§25.2　非线性规划999

25.2.2　凸函数和凸规划1000

25.2.3　最优性条件和对偶1002

25.2.4　数值最优化方法的一般概念1007

25.2.5　一维搜索法1009

25.2.6　无约束最优化的数值方法1011

25.2.7　约束最优化的数值方法1014

26．数学建模1024

§26.1　数学模型和数学建模1024

§26.2　开普勒三定律、牛顿万有引力定律和行星运动的规律1026

26.2.1　引言1026

26.2.2　从开普勒三定律导出牛顿万有引力定律1027

26.2.3　从万有引力定律导出开普勒三定律1029

§26.3　量纲分析1033

§26.4 日常生活中的数学模型1036

26.4.1　复利、年金1036

26.4.2　人口问题的数学模型1038

26.4.3　传染病流行的数学模型1040

26.4.4　减肥的数学模型1042

§26.5　气象学中的Lorenz模型和确定性混沌1043

26.6.1　随机数的生成方法1045

§26.6　模拟方法建模1045

26.6.2　确定性行为的模拟：曲线下的面积1047

26.6.3　随机行为的模拟1048

26.6.4　港口船只排队问题1049

数学家译名表（原名-中译名）1055

数学家译名表（中译名-原名）1059

索引1063