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引子1

第一章 科学的根源5

1.1探寻世界的成因5

1.2数学真理6

1.3柏拉图的数学世界“真实”吗？8

1.4三个世界与三重奥秘12

1.5善、真、美15

第二章 古代定理和现代问题17

2.1毕达哥拉斯定理17

2.2欧几里得公设19

2.3毕达哥拉斯定理的相似面积证明21

2.4双曲几何：共形图像22

2.5双曲几何的其他表示25

2.6双曲几何的历史渊源29

2.7与物理空间的关系31

第三章 物理世界里数的种类35

3.1毕达哥拉斯灾难？35

3.2实数系37

3.3物理世界里的实数41

3.4自然数需要物理世界吗？43

3.5物理世界里的离散数44

第四章 奇幻的复数48

4.1魔数“i”48

4.2用复数解方程50

4.3幂级数的收敛52

4.4韦塞尔复平面55

4.5如何构造曼德布罗特集56

第五章 对数、幂和根的几何58

5.1复代数几何58

5.2复对数概念61

5.3多值性，自然对数62

5.4复数幂65

5.5与现代粒子物理学的某些关联68

第六章 实数微积分71

6.1如何构造实函数？71

6.2函数的斜率73

6.3高阶导数；C∞光滑函数75

6.4“欧拉的”函数概念77

6.5微分法则79

6.6积分81

第七章 复数微积分85

7.1复光滑，全纯函数85

7.2周线积分86

7.3复光滑幂级数88

7.4解析延拓90

第八章 黎曼曲面和复映射94

8.1黎曼曲面概念94

8.2共形映射97

8.3黎曼球面99

8.4紧黎曼曲面的亏格101

8.5黎曼映射定理104

第九章 傅里叶分解和超函数107

9.1傅里叶级数107

9.2圆上的函数111

9.3黎曼球面上的频率剖分113

9.4傅里叶变换115

9.5傅里叶变换的频率剖分117

9.6哪种函数是适当的？119

9.7超函数121

第十章 曲面127

10.1复维和实维127

10.2光滑，偏导数128

10.3矢量场和1形式131

10.4分量，标量积135

10.5柯西-黎曼方程137

第十一章 超复数141

11.1四元数代数141

11.2四元数的物理角色143

11.3四元数几何145

11.4转动如何叠加147

11.5克利福德代数149

11.6格拉斯曼代数151

第十二章 n维流形155

12.1为什么要研究高维流形？155

12.2流形与坐标拼块158

12.3标量、矢量和余矢量159

12.4格拉斯曼积163

12.5形式的积分164

12.6外导数165

12.7体积元，求和规则169

12.8张量：抽象指标记法和图示记法171

12.9复流形172

第十三章 对称群177

13.1变换群177

13.2子群和单群180

13.3线性变换和矩阵183

13.4行列式和迹187

13.5本征值与本征矢量189

13.6表示理论与李代数191

13.7张量表示空间；可约性194

13.8正交群197

13.9酉群202

13.10辛群206

第十四章 流形上的微积分211

14.1流形上的微分211

14.2平行移动212

14.3协变导数215

14.4曲率和挠率217

14.5测地线、平行四边形和曲率219

14.6李导数224

14.7度规能为你做什么？229

14.8辛流形232

第十五章 纤维丛和规范联络235

15.1纤维丛的物理背景235

15.2丛的数学思想237

15.3丛的截面240

15.4克利福德丛242

15.5复矢量丛，（余）切丛244

15.6射影空间246

15.7丛联络的非平凡性250

15.8丛曲率253

第十六章 无限的阶梯258

16.1有限域258

16.2物理上需要的是有限还是无限几何？260

16.3无限的不同大小263

16.4康托尔对角线法265

16.5数学基础方面的难题268

16.6图灵机和哥德尔定理270

16.7物理学中无限的大小273

第十七章 时空276

17.1亚里士多德物理学的时空276

17.2伽利略原理下的时空相对性278

17.3时空的牛顿动力学279

17.4等效原理281

17.5嘉当的“牛顿时空”284

17.6确定不变的有限光速288

17.7光锥289

17.8放弃绝对时间291

17.9爱因斯坦广义相对论的时空294

第十八章 闵可夫斯基几何297

18.1欧几里得型与闵可夫斯基型四维空间297

18.2闵可夫斯基空间的对称群300

18.3洛伦兹正交性；“时钟悖论”301

18.4闵可夫斯基空间的双曲几何304

18.5作为黎曼球面的天球309

18.6牛顿能量和（角）动量312

18.7相对论性能量和（角）动量313

第十九章 麦克斯韦和爱因斯坦的经典场318

19.1背离牛顿动力学的演化318

19.2麦克斯韦电磁场理论319

19.3麦克斯韦理论中的守恒律和通量定律323

19.4作为规范曲率的麦克斯韦场325

19.5能量动量张量329

19.6爱因斯坦场方程332

19.7进一步的问题：宇宙学常数；外尔张量334

19.8引力场能量336

第二十章 拉格朗日量和哈密顿量341

20.1神奇的拉格朗日形式体系341

20.2更为对称的哈密顿图像344

20.3小振动346

20.4辛几何的哈密顿动力学350

20.5场的拉格朗日处理352

20.6如何从拉格朗日量导出现代理论？354

第二十一章 量子粒子357

21.1非对易变量357

21.2量子哈密顿量359

21.3薛定谔方程360

21.4量子理论的实验背景362

21.5理解波粒二象性365

21.6什么是量子“实在”？367

21.7波函数的“整体”性质369

21.8奇怪的“量子跳变”372

21.9波函数的概率分布373

21.10位置态374

21.11动量空间描述376

第二十二章 量子代数、几何和自旋380

22.1量子步骤U和R380

22.2 U的线性性以及它给R带来的问题382

22.3幺正结构、希尔伯特空间和狄拉克算符384

22.4幺正演化：薛定谔绘景和海森伯绘景385

22.5量子“可观察量”388

22.6 YES/NO测量；投影算符390

22.7类光测量；螺旋性392

22.8自旋和旋量395

22.9二态系统的黎曼球面398

22.10高自旋：马约拉纳绘景402

22.11球谐函数404

22.12相对论性量子角动量407

22.13一般的孤立量子客体410

第二十三章 纠缠的量子世界415

23.1多粒子系统的量子力学415

23.2巨大的多粒子系统态空间416

23.3量子纠缠：贝尔不等式418

23.4玻姆型EPR实验420

23.5哈迪的EPR事例：几乎与概率无关423

23.6量子纠缠的两个谜团424

23.7玻色子和费米子426

23.8玻色子和费米子的量子态428

23.9量子隐形传态429

23.10量子纠缠432

第二十四章 狄拉克电子和反粒子437

24.1量子理论与相对论之间的张力437

24.2为什么反粒子意味着量子场？438

24.3量子力学里能量的正定性439

24.4相对论能量公式的困难441

24.5 ？/？的非不变性442

24.6波算符的克利福德-狄拉克平方根443

24.7狄拉克方程445

24.8正电子的狄拉克途径446

第二十五章 粒子物理学的标准模型450

25.1现代粒子物理学的起源450

25.2电子的zigzag图像451

25.3电弱相互作用；反射不对称性454

25.4正反共轭、宇称和时间反演458

25.5电弱对称群460

25.6强相互作用粒子462

25.7“色夸克”465

25.8超越标准模型？467

第二十六章 量子场论471

26.1量子场论在现代物理中的基础地位471

26.2产生算符和湮没算符472

26.3无穷维代数474

26.4量子场论中的反粒子476

26.5备择真空477

26.6相互作用：拉格朗日量和路径积分478

26.7发散的路径积分：费恩曼响应481

26.8构建费恩曼图；S矩阵483

26.9重正化485

26.10拉格朗日量的费恩曼图488

26.11费恩曼图和真空选择489

第二十七章 大爆炸及其热力学传奇493

27.1动力学演化的时间对称性493

27.2亚微观成分494

27.3熵495

27.4熵概念的鲁棒性497

27.5第二定律的导出499

27.6整个宇宙可看作一个“孤立系统”吗？502

27.7大爆炸的角色503

27.8黑洞507

27.9事件视界与时空奇点510

27.10黑洞熵512

27.11宇宙学514

27.12共形图518

27.13异乎寻常的特殊大爆炸521

第二十八章 早期宇宙的推测性理论527

28.1早期宇宙的自发对称破缺527

28.2宇宙的拓扑缺陷529

28.3早期宇宙的对称性破缺问题532

28.4暴胀宇宙学535

28.5暴胀的动机有效吗？539

28.6人存原理542

28.7大爆炸的特殊性质：人存是关键？545

28.8外尔曲率假说548

28.9哈特尔-霍金的“无界”假说550

28.10宇宙学参数：观察的地位？552

第二十九章 测量疑难560

29.1量子理论的传统本体论560

29.2量子理论的非传统本体论562

29.3密度矩阵566

29.4自旋1/2的密度矩阵：布洛赫球568

29.5 EPR状态的密度矩阵571

29.6环境退相关的FAPP哲学575

29.7“哥本哈根”本体论的薛定谔猫576

29.8其他传统本体论能够解决“猫”佯谬吗？578

29.9哪一种非传统本体论有助于解决问题？580

第三十章 量子态收缩中的引力角色584

30.1当今的量子理论在此适用吗？584

30.2来自宇宙学时间不对称的线索585

30.3量子态收缩的时间不对称性586

30.4霍金的黑洞温度589

30.5源自复周期性的黑洞温度592

30.6基灵矢量，能量流——时间旅行！596

30.7来自负能量途径的能量流598

30.8霍金爆炸600

30.9更激进的观点603

30.10薛定谔团块605

30.11与爱因斯坦原理的基本冲突608

30.12优先的薛定谔-牛顿态？610

30.13 FELIX及其相关理论612

30.14早期宇宙涨落的起源615

第三十一章 超对称、超维和弦621

31.1令人费解的参数621

31.2超对称624

31.3超对称代数和几何626

31.4高维时空629

31.5原初的强子弦论631

31.6极品弦论634

31.7额外时空维的弦动机636

31.8作为量子引力理论的弦论？637

31.9弦动力学639

31.10为什么我们看不见额外的空间维？640

31.11我们应当接受量子稳定性论证吗？644

31.12额外维的经典不稳定性646

31.13弦量子场论是有限的吗？647

31.14神奇的卡拉比-丘空间；M理论649

31.15 弦与黑洞熵653

31.16“全息原理”655

31.17 D膜观点657

31.18弦论的物理学地位？659

第三十二章 更为狭窄的爱因斯坦途径；圈变量666

32.1正则量子引力666

32.2阿什台卡变量的手征输入667

32.3阿什台卡变量的形式669

32.4圈变量671

32.5结与链的数学673

32.6自旋网络675

32.7圈量子引力的地位679

第三十三章 更彻底的观点；扭量理论683

33.1几何上具有离散元素的理论683

33.2作为光线的扭量686

33.3共形群、紧化闵可夫斯基空间690

33.4作为高维旋量的扭量693

33.5基本扭量几何及其坐标694

33.6作为无质量自旋粒子的扭量的几何697

33.7扭量量子论700

33.8无质量场的扭量描述702

33.9扭量层上同调704

33.10扭量与正/负频率剖分708

33.11非线性引力子709

33.12扭量与广义相对论713

33.13面向粒子物理的扭量理论714

33.14扭量理论的未来715

第三十四章 实在之路通向何方720

34.1 20世纪物理学的伟大理论及其超越？720

34.2数学推动下的基础物理学722

34.3物理理论中时尚的作用725

34.4错误理论能被实验驳倒吗？727

34.5下一次物理学革命会来自何处？730

34.6什么是实在？732

34.7心智在物理理论中的作用733

34.8通向实在的漫长的数学之路736

34.9美和奇迹739

34.10艰深的问题回答了，更深的问题又形成了742

尾声746

名词索引748

致谢759

文献目录761

译后记797