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第一章 微积分的基础知识——函数与极限1

第一节 集合与函数1

1.集合1

2.函数的概念3

3.映射5

4.复合函数6

5.反函数7

6.函数的四则运算9

7.基本初等函数与初等函数10

8.曲线的极坐标方程10

9.几种具有特殊性质的函数12

习题1-1（A）16

习题1-1（B）18

第二节 极限（一）18

1.极限的描述性定义19

2.“函数值‘无限接近于’常数A”的描述——正数ε的引入20

3.数列极限的定义21

4.数列极限的性质24

5.数列的子数列26

6.数学建模的实例——生活中的数列及数列极限27

习题1-2（A）29

习题1-2（B）29

第三节 极限（二）30

1.当x无限增大（记作x→＋∞）时，函数f（x）以A为极限的定义30

2.x无限趋近于x0（记作x→x0）时，函数f（x）以A为极限的定义32

3.函数极限的性质35

4.数学建模的实例——圆周率的计算40

习题1-3（A）42

习题1-3（B）43

第四节 极限存在准则与两个重要极限44

1.判定极限存在的准则144

2.判定极限存在的准则248

习题1-4（A）50

习题1-4（B）51

第五节 无穷小量与无穷大量51

1.无穷小量52

2.无穷大量56

习题1-5（A）60

习题1-5（B）61

第六节 函数的连续性及间断点62

1.函数的连续性62

2.函数的间断点64

习题1-6（A）67

习题1-6（B）67

第七节 连续函数的性质与初等函数的连续性68

1.连续函数的运算性质68

2.初等函数的连续性72

3.闭区间上连续函数的分析性质73

4.数学建模的实例——椅子模型75

习题1-7（A）76

习题1-7（B）76

第八节 利用数学软件求极限77

总习题一79

第二章 一元函数微分学82

第一节 函数的导数的概念82

1.导数的概念82

2.可导与连续之间的关系89

3.原函数90

习题2-1（A）92

习题2-1（B）93

第二节 函数的微分93

1.微分的概念93

2.可导与可微的关系94

3.可微与连续的关系97

4.微分的几何意义97

习题2-2（A）98

习题2-2（B）98

第三节 函数的求导法则99

1.函数四则运算的求导法则99

2.反函数的求导法则101

3.复合函数的导数103

4.微分形式的不变性106

5.常见初等函数的导数公式与微分公式107

习题2-3（A）108

习题2-3（B）109

第四节 高阶导数110

习题2-4（A）112

习题2-4（B）113

第五节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数113

1.隐函数的导数114

2.由参数方程所确定的函数的导数117

3.相关变化率120

4.数学建模的实例——经济问题中的边际与弹性122

习题2-5（A）123

习题2-5（B）124

第六节 利用数学软件求导数125

总习题二127

第三章 微分中值定理与导数的应用131

第一节 微分中值定理131

1.罗尔定理131

2.拉格朗日中值定理134

3.柯西中值定理138

习题3-1（A）140

习题3-1（B）141

第二节 洛必达法则142

1.0/0型不定式142

2.∞/∞型不定式145

3.其他类型的不定式146

习题3-2（A）148

习题3-2（B）149

第三节 泰勒中值定理150

1.泰勒多项式150

2.泰勒中值定理151

3.几个初等函数的麦克劳林公式154

4.泰勒公式的应用举例157

习题3-3（A）159

习题3-3（B）160

第四节 利用导数研究函数（一）——函数的单调性与极值160

1.函数单调性的判别法161

2.函数极值的求法164

3.函数最值的求法167

4.数学建模的实例——蜂巢的奇妙结构170

习题3-4（A）171

习题3-4（B）172

第五节 利用导数研究函数（二）——曲线的凹凸性、渐近线及函数图形的描绘173

1.曲线的凹凸性与拐点174

2.函数图形的描绘178

习题3-5（A）180

习题3-5（B）181

第六节 曲率181

1.光滑曲线181

2.曲率的概念182

3.曲率的计算公式184

4.曲率圆与曲率半径186

习题3-6（A）187

习题3-6（B）187

总习题三187

第四章 不定积分191

第一节 不定积分的概念及其性质191

1.不定积分191

2.基本不定积分表193

3.不定积分的性质194

习题4-1（A）196

习题4-1（B）197

第二节 不定积分的换元积分法（一）197

1.凑微分积分法198

2.凑微分换元法应用举例199

习题4-2（A）206

习题4-2（B）207

第三节 不定积分的换元积分法（二）208

1.第二换元法208

2.其他常见换元积分法举例211

习题4-3（A）214

习题4-3（B）215

第四节 不定积分的分部积分法215

习题4-4（A）220

习题4-4（B）221

总习题四221

第五章 定积分及其应用224

第一节 定积分的概念与性质224

1.两个实例224

2.定积分的定义226

3.定积分存在的条件与几何意义228

4.定积分的性质230

习题5-1（A）236

习题5-1（B）237

第二节 微积分基本公式237

1.积分上限的函数238

2.牛顿-莱布尼茨公式241

3.用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分242

习题5-2（A）245

习题5-2（B）246

第三节 定积分的换元法与分部积分法246

1.定积分的换元积分法247

2.定积分的分部积分法253

习题5-3（A）255

习题5-3（B）257

第四节 反常积分257

1.无穷（限）积分258

2.瑕积分（无界函数的积分）261

习题5-4（A）264

习题5-4（B）264

第五节 定积分的应用265

1.微元法265

2.平面图形面积的计算267

3.定积分在几何学中的其他应用270

4.定积分在物理学上的应用279

5.数学建模的实例——不允许缺货的存储模型282

习题5-5（A）283

习题5-5（B）284

第六节 利用软件求积分285

总习题五289

第六章 微分方程294

第一节 微分方程的基本概念294

1.几个微分方程的实例294

2.微分方程的基本概念295

习题6-1（A）299

习题6-1（B）299

第二节 一阶微分方程300

1.可分离变量的方程300

2.齐次方程302

3.一阶线性微分方程304

4.伯努利方程309

5.其他可通过变量代换求解的微分方程举例310

6.一阶微分方程的应用举例310

7.数学建模的实例——单种群数量变化的数学模型314

习题6-2（A）315

习题6-2（B）316

第三节 可降阶的高阶微分方程317

1.y(n）＝f（x）型317

2.y"＝f（x，y'）型318

3.y"＝f（y，y'）型320

4.数学建模的实例——悬链线问题322

习题6-3（A）324

习题6-3（B）324

第四节 高阶线性微分方程解的结构325

1.n阶线性微分方程325

2.高阶线性齐次方程的解的结构325

3.线性非齐次方程的解的结构328

习题6-4（A）329

习题6-4（B）329

第五节 高阶常系数线性齐次微分方程330

1.二阶常系数线性齐次微分方程及其特征方程330

2.二阶常系数线性齐次方程的通解331

3.n阶常系数线性齐次方程的通解333

习题6-5（A）335

习题6-5（B）336

第六节 高阶常系数线性非齐次方程336

1.f（x）＝eλxpn（x），其中λ是常数，Pn（x）是n次多项式336

2.f（x）＝eαx[P（x）cosβx＋Q（x）sinβx]，其中P（x），Q（x）为多项式，α，β为常数，且β≠0340

习题6-6（A）344

习题6-6（B）344

第七节利用软件求解微分方程345

总习题六347

附录1常用初等数学公式350

附录2几种常见的曲线353

附录3 MATLAB软件简介358

附录4习题参考答案与提示364

参考书目400