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第一章 矩阵理论的基本知识1

1 矩阵与线性变换1

1.1 矩阵与行列式，特征值与特征向量2

1.2 线性变换与矩阵表示，相似性与 Jordan 法式15

2 对称矩阵与 Hermite 矩阵，酉空间上的线性变换26

2.1 正规变换与正规矩阵26

2.2 Hermite 正定与正半定矩阵34

2.3 幂等变换与幂等矩阵43

3 矩阵的张量积与合成矩阵47

3.1 矩阵的张量积47

3.2 合成矩阵的基本性质52

第一章参考文献56

第二章 范数57

1 向量范数57

1.1 定义与例子57

1.2 分析与几何性质60

2 矩阵范数64

2.1 广义矩阵范数64

2.2 矩阵范数68

3 关于向量范数与矩阵范数的进一步结果76

3.1 对偶向量范数77

3.2 绝对向量范数及其导出的矩阵范数80

3.3 广义矩阵范数与矩阵范数的补充84

4 度规函数与酉不变广义矩阵范数89

4.1 度规函数与对称度规函数及其对偶90

4.2 von Neumann 定理94

第二章参考文献99

第三章 矩阵函数100

1 简单矩阵的函数100

1.1 定义100

1.2 简单矩阵函数的谱分解及其应用102

2 一般矩阵的函数106

2.1 一般定义与性质106

2.3 矩阵函数的序列与级数118

3 矩阵函数 f(A)：f 为解析函数情形125

3.1 矩阵值函数的分析运算与矩阵的预解式125

3.2 矩阵函数的积分形式定义与有关性质129

4 对微分方程的应用134

4.1 一阶常系数常微分方程组解的表达式134

4.2 可观测与可控制的定常线性系统140

第三章参考文献148

第四章 线性矩阵方程与惯性理论150

1 线性矩阵方程150

1.1 矩阵方程的可解条件150

1.2 矩阵方程 AX+XB=C155

2 矩阵惯性定理160

2.1 ляпунов 稳定性定理与 Stein 稳定性定理160

2.2 矩阵惯性定理164

3 Routh-Hurwitz 问题与 Schur-Cohn 问题172

3.1 多项式对的 Bézout 矩阵与结式矩阵172

3.2 Routh-Hurwitz 问题与 Schur-Cohn 问题：复多项式的情形178

3.3 Routh-Hurwitz 问题：实多项式的情形182

第四章参考文献193

第五章 矩阵的广义逆195

1 基于 Penrose 方程的λ-逆195

1.1 基本概念与{1}-逆195

1.2 其它λ-逆201

1.3 在求解线性矩阵方程问题中的应用208

2 方阵的谱广义逆212

2.1 Drazin 逆212

2.2 群逆与广义左(右)逆215

2.3 矩阵的广义逆正性与单调性219

第五章参考文献223

第六章 特征值的定位与扰动224

1 矩阵非奇异性定理与排除定理224

1.1 严格对角占优矩阵与 Gerschgorin 圆盘定理224

1.2 不可约矩阵的情形229

2 对角占优矩阵的推广及其相应的排除定理233

2.1 Brauer 定理与 Ostrowski 定理233

2.2 Shemesh 定理与 Brualdi 定理237

3 矩阵特征值的扰动242

3.1 特征值的连续性结果与矩阵的谱变化242

3.2 简单矩阵的特征值扰动246

4 矩阵的解析扰动253

4.1 问题与基本结果253

4.2 单重特征值的扰动259

4.3 多重特征值的扰动262

第六章参考文献268

第七章 非负矩阵理论270

1 非负不可约矩阵的 Perron-Frobenius 理论270

1.1 最基本的结果270

1.2 Perron-Frobenius 理论的进一步结果278

2 一般非负矩阵的情形286

2.1 一般非负矩阵 Perron-Frobenius 理论的古典结果286

2.2 Perron-Frobenins 定理的进一步推广289

3 随机矩阵与双随机矩阵296

3.1 随机矩阵与有限齐次 Markov 链296

3.2 双随机矩阵301

第七章参考文献307

第八章 M-矩阵308

1 非奇异 M-矩阵308

1.1 主子式皆为正实数的实方阵309

1.2 非奇异 M-矩阵的若干特性311

1.3 G-函数与非奇异 M-矩阵319

2 一般 M-矩阵325

2.1 一般 M-矩阵的特征326

2.2 带有“性质c”的 M-矩阵332

2.3 M-矩阵与有限齐次 Markov 链336

第八章参考文献341

第九章 非负矩阵与 M-矩阵的应用343

1 求解线性代数方程组的迭代方法343

1.1 三种基本迭代方法与基本收敛引理343

1.2 非负性，正定性与迭代法的收敛性346

1.3 奇异线性方程组的情形358

2 数理经济学中的投入-产出模型分析362

2.1 引言与开式 Leontief 模型362

2.2 闭式 Leontief 模型372

第九章参考文献376

符号表378

索引381