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绪论1

第一节 数学竞赛的产生1

一、中国数学竞赛的产生1

二、欧洲数学竞赛的产生2

第二节 国际数学奥林匹克竞赛2

一、世界各国的数学竞赛热潮2

二、国际数学奥林匹克竞赛的诞生3

三、国际数学奥林匹克竞赛的发展阶段4

四、国际数学奥林匹克竞赛的运转常规5

第三节 中国数学竞赛5

一、中国数学竞赛发展的三个阶段6

二、中国数学竞赛的组织机制8

三、对数学竞赛“热”的思考8

第四节 中学数学竞赛大纲9

一、初中数学竞赛大纲10

二、高中数学竞赛大纲11

本章参考文献12

第一章 整除与同余14

第一节 整数的整除性14

一、整数的整除性14

二、奇数与偶数21

三、质数与合数24

四、完全平方数29

第二节 同余30

一、基本概念31

二、基本性质31

三、典型例题解析31

第三节 高斯函数35

一、基本概念36

二、基本性质36

三、基本结论37

四、典型例题解析38

第四节 复数43

一、基本概念43

二、复数的三种形式44

三、基本性质44

四、典型例题解析45

习题一50

本章参考文献52

第二章 数列与不等式54

第一节 数列54

一、等差数列与等比数列54

二、高阶等差数列与等比数列56

三、递推数列与周期数列57

四、数列的求和62

五、数列的性质66

第二节 不等式68

一、不等式的解集68

二、基本性质69

三、不等式的常用解法69

四、不等式的证明72

五、一些重要的不等式78

第三节 条件最值83

一、利用不等式求条件最值83

二、利用换元法求条件最值85

三、利用函数的知识求条件最值86

四、利用数形结合思想求条件最值87

五、离散型条件最值问题88

习题二90

本章参考文献92

第三章 多项式与方程93

第一节 多项式93

一、基本知识93

二、常用方法97

三、典型例题解析97

第二节 函数方程104

一、基本知识104

二、常用方法105

三、典型例题解析106

第三节 不定方程112

一、基本知识112

二、几个特殊类型不定方程的求解定理113

三、常用方法115

四、典型例题解析116

习题三121

本章参考文献122

第四章 平面几何与立体几何124

第一节 平面几何124

一、几个著名定理及其应用124

二、三角形的“五心”136

三、点共圆、点共线、线共点、定点及面积问题143

四、平面几何问题基本解题方法152

第二节 立体几何157

一、空间共线、共面与平行157

二、空间中的角159

三、空间中的距离161

四、棱柱与棱锥165

五、旋转体170

习题四174

本章参考文献179

第五章 平面解析几何与几何不等式180

第一节 平面解析几何180

一、基本结论180

二、典型例题解析182

第二节 几何不等式200

一、几何不等式200

二、几个著名的代数不等式在几何中的应用207

三、几个著名的定理和几何不等式的应用209

习题五217

本章参考文献220

第六章 组合数学221

第一节 抽屉原理221

一、抽屉原理的四种形式221

二、抽屉原理的解题思想222

三、典型例题解析222

第二节 容斥原理227

一、预备知识227

二、容斥原理229

三、容斥原理的解题思想230

四、典型例题解析230

第三节 排列与组合232

一、加法原理与乘法原理232

二、排列与组合233

三、典型例题解析237

习题六241

本章参考文献242

第七章 组合几何与图论243

第一节 组合几何243

一、基本知识243

二、典型例题解析244

第二节 图形覆盖254

一、基本知识254

二、典型例题解析255

第三节 图论263

一、基本知识263

二、典型例题解析265

习题七273

本章参考文献274

第八章 构造法与数学归纳法276

第一节 构造法276

一、构造关系276

二、构造几何模型，使代数问题几何化280

三、构造方程模型，使几何问题代数化281

四、构造极端情况282

五、构造对应的平面模型，将空间问题化为平面问题282

六、构造集合282

七、构造新数列283

第二节 数学归纳法285

一、第一数学归纳法286

二、第二数学归纳法289

三、跳跃数学归纳法290

四、反向数学归纳法290

五、螺旋式数学归纳法291

六、二重数学归纳法292

习题八294

本章参考文献296