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第1章 函数与极限1

1.1 函数——变量相依关系的数学模型1

1.1.1 邻域1

1.1.2 函数的概念及其表示方法2

1.1.3 函数的性质3

1.1.4 初等函数6

练习与思考1-19

1.2 函数的极限——函数变化趋势的数学模型10

1.2.1 函数极限的概念10

1.2.2 极限的性质14

练习与思考1-214

1.3 极限的运算15

1.3.1 极限的运算法则15

1.3.2 两个重要极限16

练习与思考1-320

1.4 无穷小及其比较20

1.4.1 无穷小与无穷大21

1.4.2 无穷小与极限的关系23

1.4.3 无穷小的比较与阶23

练习与思考1-425

1.5 函数的连续性——函数连续变化的数学模型26

1.5.1 函数的改变量——描述函数变化的方法26

1.5.2 函数连续的概念26

1.5.3 函数的间断点28

1.5.4 初等函数的连续性30

练习与思考1-531

1.6 数学实验（一）32

1.7 数学建模（一）——初等模型37

1.7.1 数学模型的概念38

1.7.2 数学建模及其步骤39

1.7.3 初等数学模型建模举例——有空气隔层的双层玻璃窗的节能分析40

练习与思考1-743

本章小结43

本章复习题45

第2章 导数与微分49

2.1 导数的概念——函数变化速率的数学模型49

2.1.1 函数变化率的实例50

2.1.2 导数的概念及其物理意义52

2.1.3 导数的几何意义与曲线的切线和法线方程55

练习与思考2-156

2.2 导数的运算（一）56

2.2.1 函数四则运算的求导56

2.2.2 复合函数及反函数的求导58

练习与思考2-260

2.3 导数的运算（二）60

2.3.1 二阶导数的概念及其计算60

2.3.2 隐函数求导61

2.3.3 参数方程所确定的函数求导62

练习与思考2-363

2.4 微分——函数变化幅度的数学模型63

2.4.1 微分的概念及其计算63

2.4.2 微分作近似计算——函数局部线性逼近66

2.4.3 一元方程的近似根68

2.4.4 弧的微分与曲率70

练习与思考2-472

本章小结73

本章复习题75

第3章 导数的应用78

3.1 函数的单调性与极值78

3.1.1 拉格朗日微分中值定理78

3.1.2 函数的单调性79

3.1.3 函数的极值81

练习与思考3-184

3.2 函数的最值——函数最优化的数学模型85

3.2.1 函数的最值85

3.2.2 实践中的最优化问题举例88

练习与思考3-292

3.3 一元函数图形的描绘92

3.3.1 函数图形的凹凸性与拐点92

3.3.2 函数图形的渐近线95

3.3.3 一元函数图形的描绘96

练习与思考3-399

3.4 罗必达法则——未定式计算的一般方法99

3.4.1 柯西微分中值定理99

3.4.2 罗必达法则100

练习与思考3-4105

3.5 数学实验（二）105

3.6 数学建模（二）——最优化模型111

3.6.1 磁盘最大存储量模型111

3.6.2 易拉罐优化设计模型112

练习与思考3-6117

本章小结118

本章复习题120

第4章 定积分与不定积分及其应用123

4.1 定积分——函数变化累积效应的数学模型123

4.1.1 引例123

4.1.2 定积分的定义126

4.1.3 定积分的几何意义127

4.1.4 定积分的性质129

练习与思考4-1130

4.2 微积分基本公式130

4.2.1 引例131

4.2.2 积分上限函数及其导数132

4.2.3 微积分基本公式134

练习与思考4-2136

4.3 不定积分与积分计算（一）136

4.3.1 不定积分概念与基本积分表137

练习与思考4-3A140

4.3.2 换元积分法140

练习与思考4-3B145

4.4 积分计算（二）与广义积分146

4.4.1 分部积分法146

练习与思考4-4A148

4.4.2 定积分的近似积分法149

4.4.3 广义积分153

练习与思考4-4B155

4.5 定积分的应用155

4.5.1 微元法——积分思想的再认识155

4.5.2 定积分在几何上的应用156

练习与思考4-5A162

4.5.3 定积分在物理方面的应用举例163

练习与思考4-5B164

4.6 二重积分165

4.6.1 二元函数的概念165

4.6.2 二重积分的概念和性质167

4.6.3 二重积分的计算170

4.6.4 二重积分的应用178

练习与思考4-6180

4.7 数学实验（三）181

4.8 数学建模（三）——积分模型187

4.8.1 第二宇宙速度模型187

4.8.2 人口增长模型189

练习与思考4-8193

本章小结194

本章复习题197

第5章 线性代数初步200

5.1 行列式200

5.1.1 行列式的定义201

5.1.2 行列式的性质与计算203

5.1.3 克莱姆法则206

练习与思考5-1209

5.2 矩阵及其运算209

5.2.1 矩阵的概念209

5.2.2 矩阵的运算（一）：矩阵的加减、数乘、乘法213

5.2.3 矩阵的初等变换216

5.2.4 矩阵的运算（二）：逆矩阵217

练习与思考5-2222

5.3 线性方程组222

5.3.1 矩阵的秩与线性方程组解的基本定理223

5.3.2 线性方程组的求解230

练习与思考5-3234

5.4 数学实验（四）235

5.5 数学建模（四）——线性代数模型242

练习与思考5-5246

本章小结247

本章复习题250

第6章 微分方程253

6.1 一阶微分方程253

6.1.1 微分方程的基本概念253

6.1.2 一阶微分方程256

练习与思考6-1261

6.2 二阶可降阶微分方程262

6.2.1 型如主y″＝f（x），y″＝f（x,y′），y″＝f（y,y′）的方程262

6.2.2 应用举例264

练习与思考6-2266

6.3 二阶常系数线性微分方程266

6.3.1 二阶线性微分方程解的结构267

6.3.2 二阶常系数齐次线性微分方程268

6.3.3 二阶常系数非齐次线性微分方程270

6.3.4 二阶常系数线性微分方程应用举例272

练习与思考6-3273

6.4 数学建模（五）——微分方程模型274

6.4.1 微分方程模型的基本概念274

6.4.2 放射性废料处理模型277

6.4.3 船舶渡河路线模型282

练习与思考6-4287

本章小结287

本章复习题288

第7章 拉普拉斯变换290

7.1 拉普拉斯变换的概念290

7.1.1 拉普拉斯变换的概念与性质290

7.1.2 常见函数的拉普拉斯变换295

练习与思考7-1297

7.2 拉普拉斯逆变换及其求法297

练习与思考7-2301

7.3 拉普拉斯变换的应用301

7.3.1 求解微分方程301

7.3.2 线性系统问题303

练习与思考7-3304

本章小结304

本章复习题307

第8章 无穷级数308

8.1 无穷级数的概念309

8.1.1 无穷级数及其收敛与发散的概念309

8.1.2 无穷级数的性质311

8.1.3 常数项级数312

练习与思考8-1316

8.2 幂级数与多项式逼近316

8.2.1 幂级数及其收敛区间316

8.2.2 幂级数的性质319

8.2.3 函数展开成泰勒级数321

8.2.4 多项式逼近及其应用326

练习与思考8-2328

8.3 傅立叶级数329

8.3.1 三角级数、三角函数的正交性329

8.3.2 函数展开成傅立叶级数330

8.3.3 正弦级数与余弦级数335

练习与思考8-3337

8.4 数学实验（五）337

本章小结345

本章复习题348

附录一 常用数学公式350

附录二 参考答案358