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第1章 解析函数初步1

1．1 复数及复变函数1

1．1．1 复数1

1．1．2 复平面上的曲线与区域6

1．1．3 复变函数8

1．1．4 复函数的极限与连续性13

1．2 复变函数的导数16

1．2．1 导数的概念16

1．2．2 柯西-黎曼条件18

1．3 解析函数21

1．3．1 解析函数的概念21

1．3．2 初等函数的解析性24

1．4 共形映射25

1．4．1 复变函数构成的映射25

1．4．2 共形映射的概念26

1．4．3 初等函数构成的映射29

1．5 分式线性映射32

1．5．1 分式线性映射32

1．5．2 惟一确定分式线性映射的条件33

1．5．3 保圆性34

1．5．4 保对称性36

1．6 分式线性映射举例37

习题一43

第2章 复变函数的积分47

2．1 复积分47

2．1．1 积分的基本概念47

2．1．2 复变函数积分的性质48

2．1．3 复积分的计算49

2．1．4 复变函数的广义积分51

2．2 柯西-古萨基本定理52

2．2．1 柯西-古萨基本定理52

2．2．2 原函数54

2．3 复合闭路定理56

2．3．1 积分路径连续变形原理56

2．3．2 复合闭路定理58

2．4 基本积分公式60

2．4．1 柯西积分公式60

2．4．2 高阶导数公式61

习题二64

第3章 复级数66

3．1 复级数66

3．1．1 复数列66

3．1．2 复级数67

3．1．3 绝对收敛级数68

3．2 幂级数69

3．2．1 函数项级数69

3．2．2 幂级数69

3．2．3 幂级数的运算与性质72

3．3 泰勒级数73

3．3．1 解析函数的泰勒展开式73

3．3．2 解析函数的零点77

3．4 洛朗级数78

3．4．1 洛朗级数78

3．4．2 复函数的洛朗展开式79

3．4．3 洛朗展开式的应用82

习题三83

第4章 留数理论86

4．1 孤立奇点86

4．1．1 孤立奇点的分类86

4．1．2 可去奇点87

4．1．3 极点88

4．1．4 本性奇点90

4．1．5 函数在无穷远点的性态91

4．2 留数原理93

4．2．1 留数概念93

4．2．2 留数计算94

4．2．3 留数原理96

4．2．4 函数在无穷远点的留数98

4．3 留数在定积分计算中的应用99

4．3．1 定积分？R（cosθ,sinθ）dθ99

4．3．2 广义积分？R（x）dx101

4．4 辐角原理102

习题四105

第5章 积分变换108

5．1 傅里叶级数回顾108

5．1．1 傅里叶级数109

5．1．2 周期函数的频谱112

5．2 傅里叶变换113

5．2．1 傅里叶积分113

5．2．2 傅里叶变换114

5．2．3 非周期函数的频谱117

5．3 广义傅里叶变换118

5．3．1 δ-函数119

5．3．2 δ-函数的性质121

5．3．3 广义傅里叶变换121

5．4 傅里叶变换的性质123

5．4．1 时移性质123

5．4．2 微分与积分性质125

5．4．3 时间与频率伸缩性质127

5．4．4 帕塞瓦尔等式127

5．4．5 卷积性质129

5．4．6 傅里叶变换基本性质表131

5．5 小波变换133

5．5．1 小波的引入134

5．5．2 窗函数135

5．5．3 连续小波变换136

5．5．4 小波变换的自适应时间—频率窗分析137

5．5．5 小波变换的性质139

5．5．6 小波的消失矩与正交性140

5．6 拉普拉斯变换141

5．6．1 拉普拉斯变换142

5．6．2 拉普拉斯变换的收敛域144

5．7 拉普拉斯变换的性质148

5．7．1 线性性质148

5．7．2 时移性质148

5．7．3 象函数的位移性质150

5．7．4 微分性质151

5．7．5 象函数的微分性质152

5．7．6 积分性质155

5．8 拉普拉斯变换的进一步讨论155

5．8．1 拉氏变换的普遍反演公式155

5．8．2 卷积定理158

5．8．3 拉氏变换的应用160

5．8．4 拉氏变换性质表162

习题五163

第6章 数学建模及基本原理介绍168

6．1 数学模型的建立168

6．1．1 弦振动方程和定解条件168

6．1．2 热传导方程和定解条件172

6．1．3 泊松方程和定解条件176

6．2 定解问题的适定性177

6．2．1 一些基本概念177

6．2．2 适定性概念179

6．3 叠加原理180

6．3．1 叠加原理180

6．3．2 叠加原理的应用183

6．4 齐次化原理186

6．4．1 由含参变量积分或无穷级数表示的变换186

6．4．2 常微分方程中的齐次化原理189

6．4．3 偏微分方程中的齐次化原理195

习题六196

第7章 分离变量法198

7．1 分离变量法198

7．1．1 两端固定弦的振动（外力f=0）198

7．1．2 解的物理意义201

7．1．3 具有外力作用两端固定弦的振动202

7．2 分离变量法举例205

7．2．1 弦振动方程定解问题206

7．2．2 热传导方程定解问题209

7．2．3 平面上位势方程的边值问题212

7．3 贝塞尔函数217

7．3．1 Γ函数217

7．3．2 贝塞尔函数218

7．3．3 贝塞尔方程的特征值问题222

7．4 多个自变量分离变量法举例228

习题七236

第8章 积分变换法239

8．1 热传导方程的柯西问题239

8．1．1 一维热传导方程的柯西问题239

8．1．2 二维热传导方程的柯西问题242

8．2 波动方程的柯西问题244

8．2．1 一维波动方程柯西问题244

8．2．2 二维和三维波动方程柯西问题245

8．2．3 解的物理意义249

8．3 积分变换法举例250

习题八255

第9章 格林函数法257

9．1 格林公式257

9．2 拉普拉斯方程基本解和格林函数260

9．2．1 基本解260

9．2．2 格林函数260

9．3 半空间及圆域上的狄利克雷问题262

9．3．1 半空间的狄利克雷问题262

9．3．2 圆域上的狄利克雷问题263

9．4 一维热传导方程和波动方程半无界问题264

9．4．1 一维热传导方程半无界问题264

9．4．2 一维波动方程半无界问题265

习题九266

第10章 特征线法269

10．1 一阶偏微分方程的特征线法269

10．2 一维波动方程的特征线法273

习题十276

参考文献278

附录 部分习题参考答案279