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第1章 绪论1

1.1 引言1

1.1.1 计算方法的对象与特点1

1.1.2 为什么要研究计算方法2

1.1.3 评价方法的优劣标准3

1.2 误差的来源与分析误差的重要性4

1.2.1 误差的来源与分类4

1.2.2 误差理论在数值计算中的作用5

1.3 误差的基本概念9

1.3.1 误差与误差限9

1.4 数值运算的误差估计12

1.4.1 和、差的误差估计12

1.4.2 积、商的误差估计13

1.4.3 函数的误差估计14

1.5 数值运算中误差分析的若干原则15

习题一16

第2章 非线性方程求根18

2.1 引言18

2.2 根的隔离18

2.3 对分法19

2.4 迭代法20

2.5 牛顿(Newton)法25

2.5.1 迭代公式25

2.5.2 几何意义25

2.5.3 牛顿法的局部收敛性26

2.5.4 牛顿法初值的选取26

2.5.5 牛顿法的收敛速度28

2.5.6 牛顿法应用举例29

2.6.1 弦截法30

2.6 弦截法和试位法30

2.6.2 试位法31

习题二31

第3章 线性方程组解法33

3.1 引言33

3.2 高斯消去法34

3.2.1 高斯消去法34

3.2.2 矩阵的三角分解37

3.2.3 计算量40

3.3 高斯列主元素消去法41

3.3.1 选主元的必要性41

3.3.2 列主元消去法42

3.4 高斯-约当消去法与矩阵求逆44

3.4.1 高斯-约当消去法44

3.4.2 矩阵求逆47

3.5 直接三角分解法48

3.6 向量范数和矩阵范数51

3.6.1 向量范数51

3.6.2 矩阵范数53

3.6.3 解线性方程组的误差分析56

3.6.4 方阵的条件数58

3.7 简单迭代法60

3.8 高斯-塞德尔迭代法63

3.9 迭代法的收敛性66

3.10 矩阵特征值的计算方法71

3.10.1 引言71

3.10.2 求按模最大特征值的幂法72

习题三76

4.1 引言78

第4章 插值法与数值微分78

4.2 拉格朗日插值79

4.2.1 插值多项式的存在性和唯一性79

4.2.2 线性插值和抛物线插值79

4.2.3 拉格朗日插值多项式81

4.2.4 插值余项82

4.3 均差与牛顿插值公式85

4.3.1 均差及其性质85

4.3.2 牛顿插值公式87

4.3.3 拉格朗日插值公式与牛顿插值公式计算量分析89

4.4 差分与等距节点插值公式90

4.4.1 差分及其性质90

4.4.2 等距节点插值公式92

4.5 分段线性插值94

4.6 埃尔米特插值97

4.7 三次样条插值99

4.7.1 问题的提出99

4.7.2 三次样条函数的定义100

4.7.3 三次样条函数的推导100

4.8 曲线拟合与最小二乘法103

4.8.1 曲线拟合的概念103

4.8.2 线性拟合106

4.8.3 多项式拟合109

4.9 数值微分111

习题四114

第5章 数值积分116

5.1 引言116

5.2 牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)公式116

5.3.1 求积公式的代数精确度120

5.3 求积公式的误差估计120

5.3.2 求积公式的舍入误差121

5.3.3 求积公式的截断误差122

5.4 复化求积公式123

5.4.1 复化梯形公式123

5.4.2 复化辛卜生公式124

5.4.3 复化柯特斯公式125

5.4.4 复化求积公式的收敛性127

5.4.5 步长的自动选择127

5.5 线性加速法128

5.6 方法评述133

习题五133

第6章 常微分方程初值问题的数值解法135

6.1 引言135

6.2.1 欧拉(Euler)方法136

6.2 几种简单的数值解法136

6.2.2 梯形公式140

6.2.3 改进的欧拉方法140

6.3 R-K方法141

6.3.1 泰勒级数法141

6.3.2 R-K方法的基本思想142

6.3.3 二阶R-K方法143

6.3.4 四阶R-K方法144

6.4 线性多步法146

6.5 预估-校正公式148

6.6 方法评述149

习题六150

部分习题参考答案151

参考文献153