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第1章 极限与连续1

1.1 预备知识1

1.1.1 集合1

1.1.2 绝对值与常用不等式2

1.1.3 区间与邻域2

1.1.4 函数3

1.1.5 函数的简单性质4

1.1.6 函数的运算5

1.1.7 初等函数7

1.1.8 极坐标系8

1.1.9 参数方程11

习题1.112

1.2 两个实例14

1.3 数列极限15

1.3.1 数列15

1.3.2 数列的极限16

1.3.3 数列极限的性质18

1.3.4 数列极限的四则运算20

1.3.5 数列收敛判别法与数e21

习题1.325

1.4 函数极限27

1.4.1 函数在无穷远处的极限27

1.4.2 函数在一点的极限29

1.4.3 函数在一点的单侧极限30

1.4.4 函数极限的性质31

1.4.5 函数极限的运算32

1.4.6 两个重要极限35

习题1.438

1.5 无穷小量与无穷大量39

1.5.1 无穷小量39

1.5.2 无穷大量40

1.5.3 无穷小量的比较41

1.5.4 曲线的渐近线44

习题1.545

1.6 函数的连续性47

1.6.1 连续函数的概念47

1.6.2 连续函数的运算48

1.6.3 初等函数的连续性49

1.6.4 函数的间断点及其分类51

1.6.5 闭区间上连续函数的性质54

习题1.655

第2章 一元函数微分学58

2.1 导数的概念58

2.1.1 两个实例58

2.1.2 导数的定义59

2.1.3 简单函数的导数62

习题2.163

2.2 求导法则64

2.2.1 导数的运算法则64

2.2.2 由参数方程确定的函数的导数和隐函数的导数70

2.2.3 对数求导法74

习题2.276

2.3 高阶导数77

2.3.1 高阶导数77

2.3.2 求导法小结81

习题2.382

2.4 微分82

2.4.1 微分的概念83

2.4.2 微分的几何意义84

2.4.3 微分法则84

2.4.4 微分用于函数值的近似计算86

习题2.488

2.5 微分学中值定理89

2.5.1 费马引理89

2.5.2 罗尔定理90

2.5.3 拉格朗日中值定理91

2.5.4 柯西中值定理94

习题2.594

2.6 洛必达法则95

2.6.1 0/0型不定式极限96

2.6.2 ∞/∞型不定式极限98

2.6.3 其他不定式极限100

习题2.6103

2.7 泰勒公式105

2.7.1 泰勒公式105

2.7.2 几个初等函数的泰勒公式108

2.7.3 泰勒公式的应用举例111

习题2.7113

2.8 函数的单调性与极值、最值113

2.8.1 函数的单调性113

2.8.2 函数的极值115

2.8.3 函数的最大值和最小值117

2.8.4 相关变化率问题119

习题2.8120

2.9 函数图形的描绘122

2.9.1 曲线的凹凸性与拐点123

2.9.2 函数作图125

习题2.9127

2.10 曲线的曲率129

2.10.1 曲率概念129

2.10.2 曲率的计算公式130

2.10.3 曲率圆131

习题2.10133

第3章 一元函数积分学134

3.1 不定积分的概念134

3.1.1 原函数134

3.1.2 不定积分135

3.1.3 基本积分公式136

3.1.4 不定积分的线性性质137

习题3.1139

3.2 不定积分的积分法139

3.2.1 换元积分法140

3.2.2 分部积分法147

3.2.3 有理函数的积分150

3.2.4 三角函数有理式的积分155

3.2.5 简单无理式的积分158

习题3.2160

3.3 定积分的概念与性质162

3.3.1 两个实例162

3.3.2 定积分的定义164

3.3.3 定积分的性质165

3.3.4 定积分的几何意义167

习题3.3168

3.4 微积分学基本定理168

3.4.1 变上限的定积分169

3.4.2 微积分学基本定理170

习题3.4173

3.5 定积分的积分法174

3.5.1 定积分的换元积分法174

3.5.2 定积分的分部积分法179

3.5.3 定积分的近似计算182

习题3.5184

3.6 定积分的应用187

3.6.1 建立定积分表达式的微元法187

3.6.2 平面图形的面积187

3.6.3 平面曲线的弧长190

3.6.4 旋转体的体积192

3.6.5 旋转体的侧面积193

3.6.6 定积分在物理学中的应用举例194

习题3.6196

3.7 广义积分198

3.7.1 无穷区间上的广义积分198

3.7.2 无界函数的广义积分200

3.7.3 小结202

习题3.7203

第4章 微分方程204

4.1 微分方程的基本概念204

4.1.1 三个实例204

4.1.2 微分方程的基本概念206

习题4.1208

4.2 一阶微分方程209

4.2.1 可分离变量的微分方程209

4.2.2 齐次型微分方程211

4.2.3 一阶线性微分方程214

4.2.4 伯努利方程219

4.2.5 黎卡提方程220

习题4.2222

4.3 可降阶的高阶微分方程223

4.3.1 y(n)=f（x）型的微分方程224

4.3.2 y″=f（x,y′）型的微分方程224

4.3.3 y″=f（y,y′）型的微分方程226

习题4.3230

4.4 二阶线性微分方程230

4.4.1 二阶线性微分方程解的性质231

4.4.2 二阶线性微分方程解的结构232

4.4.3 二阶线性常系数齐次微分方程234

4.4.4 二阶线性常系数非齐次微分方程237

4.4.5 欧拉方程243

习题4.4244

4.5 差分方程初步246

4.5.1 差分方程概念246

4.5.2 一阶线性常系数差分方程249

4.5.3 二阶线性常系数差分方程252

4.5.4 差分方程的应用举例256

习题4.5258

部分习题参考答案与提示259

参考文献281