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第一章 实数及其上的映射1

1 无理数与微积分危机1

1.1 自然数与有理数1

1.2 无理数和微积分的危机2

练习题1—15

2 一维连续统——实数5

2.1 数的连续性5

2.2 实数集的界与确界7

2.3 连通实数集合及其表示9

练习题1—29

3 实数集上的映射10

3.1 映射10

3.2 单元函数——实数到实数的映射11

3.3 用四则运算和映射积构造新函数12

3.4 反函数12

3.5 函数的图像14

3.6 基元函数和初等函数18

3.7 隐式方程、参数和极坐标表示的函数22

练习题1—326

复习题一27

第二章 极限30

1 离散变量的极限30

1.1 以正整数为定义域的函数——序列30

1.2 无穷小量31

1.3 序列的极限34

1.4 无穷大量38

1.5 夹逼收敛39

1.6 单调有界序列的收敛性40

1.7 超越数e41

1.8 nl与Euler常数C42

1.9 重要序列极限例举44

1.10 无穷小、无穷大的比较与级46

1.11 子序列与上、下极限48

练习题2—150

2 连续变量的极限52

2.1 实数上的函数极限52

2.2 连续变量极限的离散描述56

2.3 函数极限的运算法则和收敛判定准则57

2.4 几类基本的函数极限60

练习题2—268

3 函数的连续与间断69

3.1 函数的连续与间断69

3.2 初等函数的连续性72

3.3 闭区间上连续函数的性质74

练习题2—377

复习题二77

第三章 微分法80

1 变化率及其计算80

1.1 导数80

1.2 初等函数的求导法83

1.3 由参数方程或二元方程所确定的隐函数的求导87

1.4 高阶导数88

1.5 微分——函数局部平直化91

练习题3—195

2 微分学基本定理及应用97

2.1 微分学基本定理97

2.2 不定型极限100

2.3 函数的多项式局部拟合——泰勒公式105

2.4 函数的几何形态分析114

练习题3—2122

复习题三124

第四章 积分法127

1 积分的定义和性质127

1.1 非匀变过程和非规则形体的计算127

1.2 定积分的定义和性质129

练习题4—1131

2 函数的可积性132

2.1 可积性基本定理132

2.2 函数的可积性133

练习题4—2136

3 牛顿-莱布尼茨公式137

练习题4—3139

4 原函数的寻求140

4.1 不定积分的基本公式与运算法则140

4.2 换元积分法142

4.3 分部积分法147

4.4 有理函数的积分法148

4.5 若干类无理函数的积分法151

练习题4—4157

5 定积分的计算与应用158

5.1 定积分的换元与分部积分公式158

5.2 积分微元161

5.3 面积、弧长、体积162

5.4 质心、转动惯量和功168

练习题4—5171

6 数值积分173

6.1 矩形公式和梯形公式174

6.2 辛普森(slmpson T)公式175

6.3 龙贝格(Romberg W)外推公式176

练习题4—6177

7 反常积分177

7.1 无穷积分178

7.2 瑕积分184

练习题4—7188

复习题四188

第五章 动力机制的数学模型——微分方程191

1 物理过程的定量描述191

1.1 质点的弹性振动192

1.2 RL.C电路193

1.3 冷却与衰变194

1.4 人口增长195

1.5 溶液淡化196

1.6 二体运动(行星绕日运动)197

练习题5—1199

2 微分方程的基本概念199

2.1 微分方程199

2.2 微分方程的解200

2.3 微分方程定解问题201

2.4 微分方程的方向场203

练习题5—2206

3 一阶方程206

3.1 变量分离型方程207

3.2 齐次型方程210

3.3 线性方程与伯努利(Bernoulii)方程213

3.4 里卡蒂(Riccati J E)方程214

3.5 用迭代法求近似解析解216

3.6 正交轨线217

练习题5—3218

4 二阶方程219

4.1 二阶线性方程219

4.2 常数变异公式——线性系统输入输出转换机制的解析表示223

4.3 常系数线性方程(齐次)226

4.4 常系数线性方程(非齐次)227

4.5 RLC电路230

4.6 可降阶与可积二阶方程233

练习题5—4237

5 微分方程组237

练习题5—5240

复习题五241

第六章 微积分学的基础原理243

1 实数——微积分学的逻辑基础243

练习题6—1245

2 实数完备性的等价表述245

练习题6—2251

3 实数集的列紧性与紧性251

练习题6—3253

4 闭区间上的连续映射254

练习题6—4257

5 Riemann可积性基本定理258

练习题6—5262

复习题六262

附 练习题与复习题答案263