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目录译者的话记号与术语序言对读者的建议第一部分 预备知识第一章 背景材料2

1.1 非线性问题如何产生2

1.1A 微分几何学上的来源2

1.1B 数学物理中的来源9

1.1C 变分学中的来源16

1.2　遭遇的典型困难18

1.2A　固有的困难18

1.2B　非固有的困难22

1.3　来自泛函分析的细节26

1.3A　Banach空间和Hilbert空间26

1.3B　一些有用的Banach空间28

1.3C　有界线性泛函和弱收敛32

1.3D　紧性34

1.3E　有界线性算子35

1.3F　特殊类型的有界线性算子38

1.4　不等式与估计43

1.4A　空间W1，p（Ω）（1≤p＜∞）44

1.4B　空间Wm，p（RN）和？m，p（Ω）（m≥1，m是整数，1≤p＜∞）50

1.4C　对线性椭圆型微分算子的估计51

1.5　微分系统的经典解和广义解53

1.5A　Wm,p中的弱解54

1.5B　半线性椭圆型系统弱解的正则性55

1.6　有限维空间之间的映射59

1.6A　Euclid空间之间的映射59

1.6B　同伦不变性62

1.6C　同调与上同调不变量65

注记68

第二章　非线性算子76

2.1　初等微积分76

2.1A　有界性和连续性76

2.1B　积分78

2.1C　微分81

2.1D　多重线性算子85

2.1E　高阶导数87

2.2　具体的非线性算子93

2.2A　复合算子93

2.2B　微分算子94

2.2C　积分算子96

2.2D　微分算子的表示法98

2.3　解析算子103

2.3A　等价定义103

2.3B　基本性质108

2.4　紧算子109

2.4A　等价定义109

2.4B　基本性质112

2.4C　紧微分算子114

2.5　梯度映射116

2.5A　等价定义116

2.5B　基本性质119

2.5C　特殊的梯度映射123

2.6　非线性Fredholm算子126

2.6A　等价定义126

2.6B　基本性质127

2.6C　微分Fredholm算子128

2.7A　等价定义129

2.7　真映射129

2.7B　基本性质132

2.7C　作为真映射的微分算子133

注记136

第二部分　局部分析第三章　单个映射的局部分析143

3.1　逐次逼近法143

3.1A　压缩映射原理143

3.1B　反函数定理和隐函数定理145

3.1C　Newton法149

3.1D　局部满射性的一个判别法154

3.1E　对常微分方程的应用156

3.1F　对等周问题的应用160

3.1G　对映射奇异性的应用165

3.2　梯度映射的最速下降法169

3.2A　局部极小的连续下降法170

3.2B　等周变分问题的最速下降法172

3.2C　对于一般临界点的结果175

3.2D　关于一般光滑映射的最速下降法178

3.3　解析算子和强函数法179

3.3A　一些启发179

3.3B　一个解析隐函数定理180

3.3C　复解析Fredholm算子的局部性态183

3.4A　一些启发185

3.4　广义反函数定理185

3.4B　J．Moser的一个结果186

3.4C　光滑算子189

3.4D　对于局部共轭问题的反函数定理192

注记195

第四章　依赖于参数的扰动现象202

4.1　分歧理论——一个构造性方法202

4.1A　定义和基本问题203

4.1B　简化为有限维问题207

4.1C　单重情况209

4.1D　一个收敛的迭代格式213

4.1E　高重情况218

4.2A　一些启发221

4.2　分歧理论中的超越方法221

4.2B　分歧理论中的Brouwer度223

4.2C　初等临界点理论226

4.2D　分歧理论中的Morse型数231

4.3　具体的分歧现象234

4.3A　限制三体问题中平衡点附近的周期运动234

4.3B　非线性弹性中的屈曲现象239

4.3C　Navier-Stokes方程的第二定常流247

4.3D　紧复流形上复结构的分歧254

4.4A　一些启发259

4.4　渐近展开和奇异扰动259

4.4B　形式渐近展开的有效性261

4.4C　对半线性Dirichlet问题（Ⅱε）的应用270

4.5 经典数学物理中的某些奇异扰动问题276

4.5A 由瞬时力作用的非谐振子的扰动277

4.5B　非线性弹性中的薄膜逼近278

4.5C　黏性流体的扰动Jeffrey-Hamel流280

注记285

第三部分　大范围分析第五章　一般非线性算子的全局性理论293

5.1　线性化293

5.1A　整体同胚294

5.1B　具奇异值的映射304

5.2　有限维逼近313

5.2A　Galerkin逼近313

5.2B　对拟线性椭圆型方程的应用318

5.2C　强制性限制的消除320

5.2D　梯度算子的Rayleigh-Ritz逼近324

5.2E　Navier-Stokes方程的定常态解326

5.3　同伦，映射度及其推广330

5.3A　一些启发330

5.3B　连续映射的紧扰动331

5.3C　恒等算子的紧扰动与Leray-Schauder度335

5.3D　线性Fredholm映射的紧扰动及稳定同伦349

5.3E　零指标C2真Fredholm算子的广义度358

5.4　同伦和非线性算子的映射性质362

5.4A　满射性质362

5.4B　单叶性和同胚性质364

5.4C　不动点定理367

5.4D　谱性质和非线性本征值问题370

5.4E　可解性的充要条件及其推论377

5.4F　保锥算子的性质381

5.5　对非线性边值问题的应用384

5.5A　拟线性椭圆型方程的Dirichlet问题385

5.5B　 △u＋f（x，u）＝0的Dirichlet问题的正解387

5.5C　周期水波389

5.5D　自治系统周期运动的延拓395

5.5E　强制半线性椭圆型边值问题可解的充要条件398

注记400

第六章　梯度映射的临界点理论406

6.1　极小化问题406

6.1A　下确界的达到407

6.1B　一个例证413

6.1C　与拟线性椭圆型方程有关的极小化问题415

6.2A　常值负Hermite纯量曲率的Hermite度量424

6.2　来自几何学与物理学的具体极小化问题424

6.2B　非线性弹性中的稳定平衡态430

6.2C　Plateau问题434

6.2D　Euclid量子场论中的动态不稳定性（在平均场逼近下）437

6.3　等周问题439

6.3A　梯度映射的非线性本征值问题440

6.3B　半线性梯度算子方程的可解性448

6.4　几何和物理中的等周问题455

6.4A　非线性Hamilton系统的大振幅周期解族455

6.4B　具零Euler-Poincaré示性数的紧2维流形之指定Gauss曲率的Riemann结构461

6.4C　具指定纯量曲率的Riemann流形465

6.4D　S2上指定Gauss曲率的共形度量467

6.4E　一个全局性自由边界问题——理想流体中持久形式的定常涡环471

6.5　Hilbert空间中的Marston Morse临界点理论477

6.5A　最速下降法的一个改进478

6.5B　退化与非退化临界点479

6.5C　Morse型数483

6.5D　Morse不等式488

6.5E　例证490

6.6 Ljusternik和Schnirelmann的临界点理论494

6.6A 一些启发494

6.6B　极小极大原理495

6.6C　Ljusternik-Schnirelmann范畴499

6.6D　对非线性本征值问题的应用501

6.7　一般临界点理论的应用505

6.7A　对梯度映射分歧理论的应用505

6.7B　含梯度映射的算子方程的多重解510

6.7C　柔弹性板的整体平衡态512

6.7D　某些非线性波动方程的定态517

6.7E　紧Riemann流形两点间的测地线520

注记522

附录A　关于微分流形527

附录B　关于微分形式的Hodge-Kodaira分解533

参考文献536

汉英数学词汇对照553