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第一章 引论1

1 数值分析的研究对象1

2 数值计算的误差2

2.1 误差的来源与分类2

2.2 绝对误差和相对误差、有效数字3

2.3 求函数值和算术运算的误差估计4

2.4 计算机的浮点数表示和舍入误差5

3 病态问题、数值稳定性与避免误差危害8

3.1 病态问题与条件数8

3.2 数值方法的稳定性9

3.3 避免误差危害11

4 线性代数的一些基本概念13

4.1 矩阵的特征值问题、相似变换化标准形13

4.2 线性空间和内积空间15

4.3 范数、线性赋范空间19

5 几种常见矩阵的性质26

5.1 正交矩阵和酉矩阵26

5.2 对称矩阵和对称正定矩阵27

5.3 初等矩阵27

5.4 可约矩阵29

5.5 对角占优矩阵31

习题32

第二章 线性代数方程组的直接解法35

1 Gauss消去法35

1.1 顺序消去与回代过程36

1.2 顺序消去能够实现的条件40

1.3 矩阵的三角分解41

2 选主元素的消去法42

2.1 有换行步骤的消去法42

2.2 矩阵三角分解定理的推广43

2.3 选主元素的消去法44

3 直接三角分解方法47

3.1 Doolittle分解方法47

3.2 对称矩阵的三角分解、Cholesky方法49

3.3 带状矩阵方程组的直接方法52

4 矩阵的条件数、直接方法的误差分析59

4.1 扰动方程组与矩阵的条件数59

4.2 病态方程组的解法64

4.3 列主元素消去法的舍入误差分析65

习题66

计算实习题69

第三章 线性代数方程组的迭代解法71

1 迭代法的基本概念71

1.1 向量序列和矩阵序列的极限71

1.2 迭代公式的构造74

1.3 迭代法收敛性分析76

2 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法79

2.1 Jacobi迭代法80

2.2 Gauss-Seidel迭代法80

2.3 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收敛性80

3 超松弛迭代法83

3.1 逐次超松弛迭代公式83

3.2 SOR迭代法的收敛性85

3.3 最优松弛因子86

3.4 对称超松弛迭代法88

4 共轭梯度法89

4.1 与方程组等价的变分问题89

4.2 最速下降法90

4.3 共轭梯度法91

4.4 预处理共轭梯度方法95

习题97

计算实习题100

第四章 非线性方程和方程组的数值解法101

1 区间对分法101

2 单个方程的不动点迭代法103

2.1 不动点和不动点迭代法103

2.2 迭代法在区间［a,b］的收敛性105

2.3 局部收敛性与收敛阶107

3 迭代加速收敛的方法109

3.1 Aitken加速方法109

3.2 Steffensen迭代法110

4 Newton迭代法和割线法112

4.1 Newton迭代法的计算公式112

4.2 局部收敛性和全局收敛性113

4.3 重根情形115

4.4 割线法116

5 非线性方程组的不动点迭代法118

5.1 向量值函数的连续性和导数119

5.2 压缩映射和不动点迭代法122

6 非线性方程组的Newton法和拟Newton法126

6.1 Newton法126

6.2 拟Newton法128

习题132

计算实习题134

第五章 矩阵特征值问题的数值方法136

1 特征值的估计和扰动136

1.1 特征值的估计136

1.2 特征值的扰动139

2 正交变换和矩阵因式分解140

2.1 Householder变换141

2.2 Givens变换143

2.3 矩阵的QR因式分解144

2.4 矩阵的Schur因式分解149

3 幂迭代法和逆幂迭代法150

3.1 幂迭代法150

3.2 加速技术152

3.3 逆幂迭代法153

3.4 收缩方法155

4 QR方法156

4.1 基本QR迭代156

4.2 正交相似变换化矩阵为上Hessenberg形式160

4.3 Hessenberg矩阵的QR方法164

4.4 带有原点位移的QR方法164

4.5 双重步QR方法167

5 对称矩阵特征值问题的计算171

5.1 对称矩阵特征值问题的性质171

5.2 Rayleigh商迭代172

5.3 Jacobi方法173

5.4 对称矩阵的QR方法178

习题180

计算实习题181

第六章 插值法183

1 Lagrange插值183

1.1 Lagrange插值多项式183

1.2 插值余项及其估计185

1.3 线性插值和二次插值188

1.4 关于插值多项式的收敛性问题190

2 均差与Newton插值多项式191

2.1 均差及其性质191

2.2 Newton插值多项式194

2.3 差分及其性质197

2.4 等距节点的Newton插值公式198

3 Hermite插值201

3.1 Hermite插值多项式201

3.2 重节点均差204

3.3 Newton形式的Hermite插值多项式207

3.4 一般密切插值（Hermite插值）209

4 三次样条插值210

4.1 分段线性插值及分段三次Hermite插值210

4.2 三次样条插值函数211

4.3 三次样条插值函数的计算方法212

4.4 数值例子215

5 三次样条插值函数的性质与误差估计216

5.1 基本性质216

5.2 三次样条插值函数的误差估计217

6 B－样条函数221

6.1 三次样条函数空间221

6.2 三次B－样条函数222

习题226

计算实习题228

第七章 函数逼近229

1 正交多项式229

1.1 正交多项式的基本概念及性质229

1.2 Legendre多项式234

1.3 Laguerre多项式236

1.4 Hermite多项式237

2 Chebyshev多项式237

2.1 Chebyshev多项式基本性质238

2.2 极小化性质与Chebyshev多项式零点插值240

3 函数的最佳平方逼近244

3.1 最佳平方逼近的概念及计算244

3.2 用正交函数组作最佳平方逼近247

3.3 用Legendre多项式作最佳平方逼近250

4 Padé逼近251

4.1 Padé逼近252

4.2 连分式256

5 数据拟合256

5.1 最小二乘曲线拟合及其计算257

5.2 多项式拟合259

5.3 线性化方法261

5.4 用正交多项式作最小二乘曲线拟合264

5.5 非多项式拟合266

6 线性最小二乘问题的解法268

6.1 线性最小二乘问题268

6.2 QR分解270

6.3 用QR分解求解线性最小二乘问题272

7 周期函数的最佳平方逼近273

7.1 周期函数的最佳平方逼近273

7.2 离散情形275

7.3 周期复值函数275

8 快速Fourier变换276

8.1 快速Fourier变换277

8.2 以2为底的FFT278

习题282

计算实习题283

第八章 数值积分与数值微分285

1 数值积分的基本概念286

1.1 代数精度286

1.2 插值型求积公式287

2 Newton-Cotes求积公式288

2.1 梯形公式和Simpson公式288

2.2 Newton-Cotes求积公式292

2.3 Newton-Cotes求积公式的误差分析293

2.4 开（型）Newton-Cotes求积公式295

2.5 Newton-Cotes求积公式的数值稳定性297

3 复合求积公式298

3.1 复合梯形求积公式299

3.2 复合Simpson求积公式300

3.3 带有导数值的求积公式及其复合公式302

4 Gauss求积公式304

4.1 Gauss型求积公式305

4.2 Gauss求积方法的收敛性和稳定性312

4.3 Gauss-Legendre求积公式313

4.4 Gauss-Chebyshev求积公式317

4.5 Gauss-Laguerre求积公式318

4.6 Gauss-Hermite求积公式319

5 Romberg求积算法320

5.1 Euler-Maclaurin公式320

5.2 Richardson外推方法321

5.3 Romberg求积方法323

6 自适应Simpson求积方法326

7 奇异积分的数值计算330

7.1 区间截断330

7.2 变量替换331

7.3 Kontorovich奇点分离法332

8 数值微分334

8.1 数值微分公式335

8.2 数值微分的外推算法338

习题339

计算实习题341

第九章 常微分方程初值问题的数值解法342

1 常微分方程初值问题342

2 Euler方法343

2.1 Euler方法343

2.2 隐式Euler方法345

2.3 梯形方法及改进Euler方法346

3 显式单步法349

3.1 截断误差349

3.2 相容性351

3.3 收敛性352

3.4 关于初值的稳定性355

3.5 绝对稳定性355

4 Runge-Kutta方法358

4.1 用Taylor展开构造高阶数值方法358

4.2 显式Runge-Kutta方法360

4.3 显式Runge-Kutta方法的性质365

4.4 高阶方法与隐式Runge-Kutta方法366

4.5 变步长的Runge-Kutta方法368

5 线性多步法371

5.1 一般形式的线性多步法371

5.2 基于数值积分的方法373

5.3 Adams方法375

5.4 预估校正方法379

6 线性差分方程381

6.1 线性差分方程的基本性质381

6.2 齐次差分方程的解383

7 线性多步法的相容性、收敛性及稳定性384

7.1 相容性及方法的阶384

7.2 收敛性386

7.3 稳定性391

7.4 绝对稳定性393

8 一阶方程组397

8.1 一阶方程组397

8.2 高阶微分方程的初值问题400

8.3 刚性微分方程组401

习题403

计算实习题405

部分习题的答案或提示407

参考文献418